1.3. Задачи об ударных волнах
Рассмотрим задачи о поршне и отражении ударной волны от жесткой стенки.
1.3.1. Задача о поршне в совершенном газе
Рис.
1.9.
в совершенном газе (см. рис. 1.9).
Начальное возмущение, возникшее вблизи
поршня, когда он начал двигаться, в
пределе превращается в ударную волну.
Рассмотрим этот предельный случай.
Определим параметры образовавшейся
ударной волны.
Значения параметров перед скачком обозначим индексом 0 и будем считать, что газ покоится. В неподвижной системе координат соотношения на разрыве имеют вид (см. (2.1.3), (2.1.4)):
,
, (3.1.1)
Для
совершенного газа энтальпия выражается
через
и
:
.
На границе с поршнем выполняются условия непротекания (прилипания), т.е. газ движется со скоростью поршня
. (3.1.2)
Если
скорость поршня
известна, то выписанная система уравнений
замкнута, и все параметры можно выразить
через
.
Систему (3.1.1) удобнее решать в безразмерном виде:
(3.1.3)
Обезразмерим систему и выразим из первого уравнения (3.1.1) безразмерную скорость волны
. (3.1.4)
Из
второго уравнения, используя (3.1.4),
выразим
:
. (3.1.5)
Подставим
(3.1.4) и (3.1.5) в третье уравнение (3.1.1), в
котором учтена связь энтальпии с
давлением и плотностью. После алгебраических
преобразований получается квадратное
уравнение для безразмерного удельного
объема
,
в которое скорость поршня входит как
параметр. Выбор корня уравнения
осуществляется в соответствии с условием
.
Тогда для
(
)
получается следующее решение:
. (3.1.6)
Рассмотрим
асимптотическое поведение решения. Для
больших, по сравнению со скоростью
звука, значений
(
)
получим
Итак,
. (3.1.7)
При
получении выражения (3.1.7) пренебрегли
членами, содержащими
.
Для скорости волны с учетом (3.1.7) получим
, (3.1.8)
а для давления –
. (3.1.9)
В
случае малых скоростей поршня
,
корень в решении (3.1.6) разложим в ряд
Тейлора, сохраняя члены первого порядка:
,
.
Тогда,
пренебрегая в полученном после этих
преобразований выражении членами,
содержащими
,
найдем асимптотику
. (3.1.10)
Для скорости волны имеем
Разлагая в ряд корень, получим
. (3.1.11)
Давление находится по формуле
. (3.1.12)
1.3.2. Задача о поршне в жидкости и пузырьковой жидкости
Выпишем соотношения на разрыве, используя предположения предыдущего пункта:
(3.2.1)
В качестве замыкающего выражения используем уравнение Тэта
. (3.2.2)
Из
этой системы легко получить трансцендентное
уравнение относительно скорости ударной
волны
. (3.2.3)
Решая
его численно, найдем
,
а затем по формулам (3.2.1) – давление и
плотность жидкости за ударной волной.
Рассмотрим задачу о поршне в пузырьковой жидкости. Используем уравнение состояния
.
Запишем его, используя безразмерные переменные (3.1.3),
. (3.2.4)
В пузырьковой жидкости скорость звука (1.4.10)
,
а скорость ударной волны (2.3.13)
.
Поэтому
. (3.2.5)
Соотношения на разрыве (3.2.1) дадут:
(3.2.6)
С учётом (3.2.5) получим
. (3.2.7)
Выбирая
корень в соответствии с условием
,
найдем
. (3.2.8)
В размерной форме получим
, (3.2.9)
, (3.2.10)
. (3.2.11)