- •1. Равновесная газожидкостная система
- •1.1. Уравнение состояния и скорость звука
- •1.1.1. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении
- •1.1.2. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом сжимаемости несущей фазы
- •1.1.3. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом поверхностного натяжения
- •1.1.4. Скорость звука в жидкости, газе и пузырьковой жидкости
- •1.2. Соотношения на разрыве
- •1.2.1. Соотношения на разрыве в подвижной и неподвижной системе координат
- •1.2.2. Адиабата. Ударная адиабата
- •1.2.3. Скорость ударной волны
- •1.3. Задачи об ударных волнах
- •1.3.1. Задача о поршне в совершенном газе
- •1.3.2. Задача о поршне в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.3.3. Отражение ударной волны от жесткой стенки в совершенном газе
- •1.3.4. Отражение ударной волны от жесткой стенки в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.4. Волна разрежения
- •1.4.1. Волна разрежения в совершенном газе
- •1.4.2. Задача о выдвигающемся поршне в газе
- •1.4.3. Волна разрежения в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5. Распад произвольного разрыва
- •1.5.1. Распад произвольного разрыва в покоящемся газе
- •1.5.2. Столкновение и разлет двух масс газа
- •1.5.3. Распад произвольного разрыва в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5.4. Прохождение ударной волны через границу раздела двух сред
- •1.5.5. Прохождение ударной волны через границу раздела между жидкостью и пузырьковой жидкостью
- •1.6. Затухание упругого предвестника.
- •1.7. Волновое истечение в окружающее пространство
- •1.7.1. Истечение совершенного газа из трубы в окружающее пространство
- •1.7.2. Истечение холодной жидкости
- •1.7.3. Истечение равновесной пузырьковой жидкости
- •1.7.4. Качественный анализ процесса истечения вскипающей жидкости
- •1.7.5. Замкнутая система уравнений для истечения вскипающей жидкости
- •1.7.6. Численное решение задачи об истечении вскипающей жидкости
1.1.2. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом сжимаемости несущей фазы
В случае очень малого содержания пузырьков или большой интенсивности волны необходимо учитывать сжимаемость жидкости. Получим уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом сжимаемости несущей фазы.
Повторим выкладки предыдущего параграфа, заменив выражение (2.1.14) на акустическое уравнение состояния несущей фазы (жидкости)
. (1.2.1)
Здесь – скорость звука в жидкости. Тогда выражение (1.1.18) примет вид
. (1.2.2)
Используя , , найдем
.
Это выражение после простых алгебраических преобразований приводится к виду:
, . (1.2.3)
Это и есть уравнение состояния пузырьковой жидкости с учетом сжимаемости несущей фазы. Видно, что при (1.2.3) переходит в (1.1.20).
1.1.3. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом поверхностного натяжения
В случае, когда пузырьки очень маленькие, когда лапласово давление сравнимо с давлением в системе , необходимо учитывать их поверхностное натяжение. Получим еще одно уравнение состояния пузырьковой жидкости с учетом поверхностного натяжения, но считая, что несущая фаза несжимаема
. (1.3.1)
Если объемная концентрация газа мала , то можно приближенно считать давление в смеси равным давлению в жидкости
. (1.3.2)
Тогда соотношение (1.1.10) примет вид
. (1.3.3)
Уравнение состояния газа (1.1.13) запишется так:
. (1.3.4)
Выражение (1.1.17) с учетом несжимаемости несущей фазы и при отсутствии фазовых переходов перепишется следующим образом:
.
Учитывая определение массовой концентрации фаз (1.1.8), получим
. (1.3.5)
Подставляя в (1.3.5) , выраженную из (1.3.4), и используя определение объемной концентрации газовой фазы (1.1.5), найдем
. (1.3.6)
В выражении (1.3.6) радиус пузырька выступает в роли параметра.
Так как масса пузырька постоянна, то изменение радиуса связано с изменением плотности формулой
. (1.3.7)
Подставляя в (1.3.5) из (1.3.7), получим
. (1.3.8)
Уравнение (1.3.4) с учетом (1.3.7) примет вид
.
Вводя обозначение
, (1.3.9)
из последнего выражения получим
. (1.3.10)
Из (1.3.8) следует выражение для плотности
. (1.3.11)
Выражения (1.3.10) и (1.3.11) вместе образуют параметрическую форму записи уравнения состояния пузырьковой жидкости без учета сжимаемости несущей фазы, но с учетом лапласова давления.
1.1.4. Скорость звука в жидкости, газе и пузырьковой жидкости
Важной характеристикой среды является скорость звука. Получим выражения для скорости звука в газе и пузырьковой жидкости.
Скорость звука в жидкости. Опыт показывает, что скорость звука в жидкости слабо зависит от изменения давления, и в широком диапазоне давлений ее можно считать постоянной.
Скорость звука в газе. Адиабатическим уравнением состояния совершенного газа (адиабата Пуассона (Poisson)) является
, (1.4.1)
Рис.
1.2.
. (1.4.2)
При начальных значениях давления и плотности получим
. (1.4.3)
Выражение (1.4.3) можно получить также другим путем. Линеаризуем (1.4.1), полагая, что , :
. (1.4.4)
Откуда для возмущений давления и плотности получим связь
. (1.4.5)
Следовательно,
.
Скорость звука в пузырьковой жидкости. Примем уравнение состояния пузырьковой жидкости в виде
, или . (1.4.6)
Скорость звука может быть выражена через удельный объем
, . (1.4.7)
Следовательно,
, . (1.4.8)
Выражение для можно получить иначе. Запишем (1.4.6) в виде
,
После линеаризации имеем
,
или
,
таким образом
. (1.4.11)
Рис.1.3.