- •1. Равновесная газожидкостная система
- •1.1. Уравнение состояния и скорость звука
- •1.1.1. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении
- •1.1.2. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом сжимаемости несущей фазы
- •1.1.3. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом поверхностного натяжения
- •1.1.4. Скорость звука в жидкости, газе и пузырьковой жидкости
- •1.2. Соотношения на разрыве
- •1.2.1. Соотношения на разрыве в подвижной и неподвижной системе координат
- •1.2.2. Адиабата. Ударная адиабата
- •1.2.3. Скорость ударной волны
- •1.3. Задачи об ударных волнах
- •1.3.1. Задача о поршне в совершенном газе
- •1.3.2. Задача о поршне в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.3.3. Отражение ударной волны от жесткой стенки в совершенном газе
- •1.3.4. Отражение ударной волны от жесткой стенки в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.4. Волна разрежения
- •1.4.1. Волна разрежения в совершенном газе
- •1.4.2. Задача о выдвигающемся поршне в газе
- •1.4.3. Волна разрежения в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5. Распад произвольного разрыва
- •1.5.1. Распад произвольного разрыва в покоящемся газе
- •1.5.2. Столкновение и разлет двух масс газа
- •1.5.3. Распад произвольного разрыва в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5.4. Прохождение ударной волны через границу раздела двух сред
- •1.5.5. Прохождение ударной волны через границу раздела между жидкостью и пузырьковой жидкостью
- •1.6. Затухание упругого предвестника.
- •1.7. Волновое истечение в окружающее пространство
- •1.7.1. Истечение совершенного газа из трубы в окружающее пространство
- •1.7.2. Истечение холодной жидкости
- •1.7.3. Истечение равновесной пузырьковой жидкости
- •1.7.4. Качественный анализ процесса истечения вскипающей жидкости
- •1.7.5. Замкнутая система уравнений для истечения вскипающей жидкости
- •1.7.6. Численное решение задачи об истечении вскипающей жидкости
1.3.3. Отражение ударной волны от жесткой стенки в совершенном газе
Рис.
1.10.
Пусть стенка неподвижна. Тогда граничное условие “прилипания” дает
, .
В неподвижной системе координат соотношения на разрыве имеют вид:
(3.3.1)
Представим выражение в виде
. (3.3.2)
Выразим из первого соотношения (3.3.1), предварительно заменив в нем выражение согласно (3.3.2). В результате получим
. (3.3.3)
Подставляя (3.3.3) во второе соотношение (3.3.1), найдем
, (3.3.4)
или
. (3.3.5)
Это соотношение можно применить как к падающей (1), так и к отраженной волне (2) с учётом граничного условия.
Падающая волна: ,
отраженная волна: . (3.3.6)
Приравнивая выражения (3.3.6) друг к другу, получим
. (3.3.7)
В выражении (3.3.7) справа вынесем за скобки , а слева – , тогда
. (3.3.8)
Запишем уравнения ударной адиабаты для падающей и отраженной волны:
,
. (3.3.9)
Подставим (3.3.9) в (3.3.8), после преобразований получим
(3.3.10)
Уравнение (3.3.10) относительно имеет два корня. Первый корень – . Очевидно, он не подходит. Для нахождения второго корня сделаем следующие преобразования:
тогда из (3.3.10) следует, что
или
откуда
.
Приводя в последнем выражении все члены, кроме , к общему знаменателю и поделив полученное выражение на , найдем второй корень
. (3.3.11)
Рассмотрим предельные случаи. Если ударная волна слабая , то давление за скачком можно искать в виде , где – малая величина, . Подставим в (3.3.11) и пренебрежем степенями выше первой:
(3.3.12)
Это означает, что отражение возмущения происходит так же, как в акустическом случае:
. (3.3.13)
В случае сильных волн () из (3.3.11) следует
.
Например, для воздуха , поэтому ударная волна при отражении от преграды усиливается не более, чем в 8 раз.
1.3.4. Отражение ударной волны от жесткой стенки в жидкости и пузырьковой жидкости
Отражение ударной волны от преграды в жидкости. Постановка этой задачи аналогична постановке задачи, описанной в предыдущем пункте. Выражение (3.3.7) остается справедливым. Запишем акустическое уравнение состояния жидкости
.
Применим его к падающей и отраженной ударным волнам:
(3.4.1)
Разделим второе уравнение из (3.4.1) на первое:
. (3.4.2)
С другой стороны из (3.3.7) следует
. (3.4.3)
Представим в виде
. (3.4.4)
Тогда из (3.4.3), используя (3.4.4), получим
. (3.4.5)
Учитывая (3.4.2), из (3.4.5) найдем
,
или
. (3.4.6)
Из (3.4.6) следует, что амплитуда отраженной ударной волны равна амплитуде падающей:
, (3.4.7)
. (3.4.8)
Отражение ударной волны от жесткой стенки в пузырьковой жидкости. Используем уравнение состояния пузырьковой жидкости (1.1.20)
. (3.4.9)
В безразмерной форме оно перепишется так:
. (3.4.10)
Применим его к падающей и отраженной ударным волнам:
,
. (3.4.11)
Используя связь , из (3.4.11) получим
,
. (3.4.12)
Разделим второе уравнение (3.4.12) на первое:
. (3.4.13)
С другой стороны из (3.4.7) следует
. (3.4.14)
Из (3.4.13) и (3.4.14) легко получить следующее соотношение для давления в отраженной волне
. (3.4.15)
Следовательно,
, или . (3.4.16)
Отсюда следует, что в силу физической нелинейности пузырьковой жидкости отраженная ударная волна усиливается при отражении гораздо значительнее, чем в чистой жидкости. Рассмотрим предельные случаи слабой и сильной ударной волны.
1). Слабая ударная волна:
Тогда
или
т. е. решение совпадает с акустическим.
2). Сильная ударная волна. Здесь следует иметь в виду ограниченность формулы (3.4.16), связанную с необходимостью учёта сжимаемости жидкости. Формулой (3.4.16) можно пользоваться, пока , где – скорость звука в жидкости.
Заметим, что решение для совершенного газа (3.3.11) при совпадает с решением для пузырьковой жидкости (3.4.16).
Для наглядности можно построить на одном и том же рисунке кривые, выражающие зависимости от для газа, жидкости и пузырьковой жидкости.