2. Аппроксимация детерминированной полной кривой износа

На рис. 4.2 приведена полная кривая износа. Абсциссой подобных кривых могут служить время t, работа А, путь трения L и ряд других ресурсных измерителей, обозначаемых символом Х.

В общем виде аппроксимирующее уравнение будет иметь вид

(4.4)

Первое слагаемое описывает кривую 0аb. Второе слагаемое начинает оказывать заметное воздействие на y(x) начиная с точки “a” и описывается кривой ac (разумеется, суммарно с кривой 0аb).

Значение параметра h₁ относительно просто находится из графика как асимптота кривой 0ab (рис. 4.2) значения остальных параметров определить значительно сложнее.

Рис. 4.2 Аппроксимация полной кривой износа методом выбранных точек.

На участке I функция (4.4) определяет в основном первое слагаемое. Второе слагаемое пренебрежимо мало. Поэтому для участка I функцию (4.4) можно представить в виде

(4.5)

откуда

(4.6)

Прологарифмируем это выражение и решим его относительно ₁.

. (4.7)

Продифференцируем уравнение (4.5) по Х, получим

(4.8)

Представляя значения ₁ и из (4.6)и (4.7) в уравнение (4.3) получим

(4.9)

откуда

(4.10)

Таким образом, параметры ₁и ₁ выражены через h₁ и значения функции y и её первой производной y´ на участке I. Значение параметра h₁ можно определить непосредственно по графику. И тогда, используя метод выбранных точек или выравнивания, можно определить параметры ₁и ₁.

В том случае, когда по графику параметр определить h₁ определить затруднительно, можно воспользоваться следующим приёмом.

Возьмем вторую производную от функции (4.5):

(4.11)

Принимая во внимание соотношения (4.6), (4.7) и (4.10), после преобразования получим

(4.12)

Из уравнения (4.12)

(4.13)

На участке III (рис. 4.2) поведение функции (4.4) определяется в основном вторым слагаемым. Первое слагаемое здесь мало отличается от h₁. Поэтому для этого участка функцию (4.4) можно представить в виде

(4.14)

Проводя рассуждения, аналогичные изложенным выше, получим следующее выражение искомых параметров ₂, ₂ и h₂:

(4.15)

(4.16)

(4.17)

Таким образом, значения параметров функции (4.4) выражены через значения самой функции, первой и второй производных, определенных в двух точках, взятых на графике произвольным образом на участках I и III(рис. 4.2).

Значения производных можно определить посредством графического дифференцирования либо другим известным методом [12]. Простейшим из этих методов является следующий. Выбираются на графике (4.2) три близкие точки х₀, х, х₁. Точки х₀ и х₁ расположены на равном расстоянии h от средней точки х:

x₁ – x = x – x₀ = h.

Величину h необходимо выбирать по возможности малой. Для точек х₀, х, х₁ определяются ординаты у₀, у, у₁ . Приближенные значения первой и второй производных определяются по следующим формулам:

y^'(y₁ – y₀)/2h или y^' = (y₁ – y)/h (4.18)

y^’’ = (y₁ – 2y + y₀)/4h² (4.19)

Необходимо отметить, что точность определения параметров по приведённым формулам существенно зависит от точности способов аппроксимирования, от места выбранных точек на графике и от точности определения первой и второй производных. Наиболее точно искомые параметры определяются на участках кривой, имеющих наибольшую кривизну (рис. 4.2).

На основании вышеизложенного рекомендуется следующий алгоритм определения параметров функции надежности или работоспособности.

1. На участке I выбираются точки х₀, х, х_1, х_2.

2. В точке x определяются значения у, у, у.

Если параметр h₁ можно определить по графику, то у можно не определять.

3. Для наиболее точной аппроксимации кривой в первую очередь необходимо определить значение h₁ (h₂), причём при любых значениях  и  кривая должна сходиться при х  0, у  0, а при х  , -у  h. Поэтому h необходимо определить по графику (если это возможно) и проверить расчетом по уравнению (4.13). Сразу отметим большие трудности в достижении высокой точности, возникающие от большого числа приближенно измеренных величин (у_i, x_i ,y_i, у_i); этот вопрос будет рассматриваться ниже.

4. По уравнению (4.10) определяется значение ₁.

5. Подставляя полученные значения ₁ и h₁ в уравнение (4.7), определяем величину _1. Для повышения точности получаемых результатов необходимо производить контрольные вычисления и сверять с экспериментальными данными.

6. Выбираются точки х₀, х и х_1, х₂ на участке 3 кривой (рис. 4.2).

7. Определяются значения у_i ,y_i, у_i в выбранных точках.

8. По уравнениям (4.17) и (4. 23) вычисляется параметр h_1.

9. Подставляя значения h₂ в уравнение (4.16), вычисляем величину _2.

10. По формуле (4.15) вычисляются значения ₂ проводится контрольное вычисление значений у(х) и сравнение с экспериментом.

Вычисление вручную параметров кривых является трудоёмкой операцией. Применение ЭВМ для обработки результатов делает решение этой задачи достаточно быстрым и простым. Однако, получив явно неверный результат расчета, необходимо отыскать ошибку и повторить вычисление.

Для более осмысленного выбора или расчета величины h₁ и h₂ целесообразно подвергнуть анализу уравнение (4.13). Для удобства запишем его в виде

h₁ = y_i – a_i z_i , (4.20)

где

Отметим два очевидных обстоятельства.

1. Произведение (-а_i z_i) всегда должно быть больше нуля, т.к. у_i всегда меньше h₁ (исключая крайние значения).

2. При изменении соотношений у_i/h₁ (рис. 4.3) в пределах 0  у_i/h₁  1 z_i , будет изменяться от   z_i  1. Если соотношение у_i/h₁ находится в пределах 0,5 – 0,7, то в первом приближении

h₁ ≈ y_i + a_i. (4.21)

Рис.4.3. Зависимость z = f(y/n)

Это означает, что

h₁ = y_i + (y_i´)²/(y_i´´ + y_i´/x_i), (4.22)

По аналогии из уравнения (4.17)следует

h₁ = y_i – h₁ + (y_i´)²/(y_i´´ + y_i´/x_i) (4.23)

Следовательно, всем а_i со знаком плюс соответствует z_i со знаком минус, что будет возможно при у_i/h₁ < 0,635, и наоборот. Это соображение сужает область поиска правильного решения. В заключение необходимо отметить, что методы поиска горизонтальных асимптот в математике разработаны совершенно недостаточно и при рассмотрении конкретных примеров нам в этом придется неоднократно убедиться.

3. Пример простейшей аппроксимации сложной экспериментальной прямой износа

В простейшем случае для определения параметров уравнений используется только значении функции и аргумента, определенные по графику или протоколу испытаний. Рассмотрим кривую (рис. 4.4)

Если кривую (рис 4.4) попытаться аппроксимировать уравнением (4.1), то не получим хорошего совпадения на линейном участке, наиболее важном для исследования.

Примем аппроксимации уравнение вида

(4.24)

Параметры  и  будем определять по уже известным зависимостям:

(4.25)

(4.26)

В формулах (4.25) и (4.26)

(4.27)

М = 0,4343 – модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Значения h₁ и h₂ для первых примеров определим методом подбора из графиков. Значение асимптоты h₁ = 0,58 (рис. 4.4) при определенном навыке можно выбирать визуально с хорошей степенью приближения. На кривой выбираем семь точек (отмечены цифрами).

Для них составим таблицу значений фиксированных абсцисс и ординат (табл. 4.1 гр. 2 и 3).

Рис. 4.4. Пример аппроксимации сложной кривой износа трансцендентными уравнениями.

Рис. 4.5 Пример аппроксимации сложной кривой износа: а) экспериментальная кривая с нанесенными данными аппроксимации; б) кривая, аппроксимирующая катастрофический износ; в) кривая, аппроксимирующая прибавочный и рабочий износ.

Таблица 4.1

№№ точек	n × 10^-3, об.	hi, мкм	ri	№№ точек	αi, по формуле (4.10)	μi, по формуле (4.26)	Примечание
1	2	3	4	5	6	7	8
1	2,5	0,14	0,758	1-2	0,775	0,0008	α1ср = 0,75 μ1ср = 8,2 × × 10^-^4
2	5	0,23	0,603	1-3	0,735	0,00098
3	10	0,31	0,465	1-4	0,725	0,00077
4	15	0,37	0,363	1-5	0,785	0,00073
5	20	0,44	0,240	1-6	1,1	0,00084
6	30	0,57	0,015	2-3	0,605	0,00082
7	40	0,72	-	3-4	0,705	-

Значение _1ср было подсчитано как среднее арифметическое значение 1, 2, 3, 4, 7. Отброшено самое большое и самое малое значение.

Затем, подставляя в формулу (4.7) значение h₁ и _1ср, вычислим значение _i и среднее из всех вычисленных. По координатам точки 7 вычисления не производились, т.к. h₀₁ < y₇, это нереальное соотношение.

Следовательно, первое аппроксимирующее слагаемое будет иметь вид

(4.28)

По формуле (4.28) вычислено контрольное значение функции h₁(n) и нанесены на экспериментальный график крестиками (4.4). До точки а полученные значения хорошо совпадают с экспериментальными.

Аналогичным образом можно аппроксимировать и второе слагаемое, составив вторую таблицу. Значение h_2i для точек вычисляется по формуле

h_2i = h_i – h₁(n) (4.29)

где h₁(n) - значение функции в этой точке, вычисленное по уравнению (4.24).

Очевидно, что до точки a значение h_2i практически будет равно 0.

По аналогичной методике рассчитывается второе слагаемое:

(4.30)

При вычислении ₂ и ₂ совершенно неочевидно положение асимптоты h₂ и поэтому приходится многократно повторять вычисления, задаваясь значениями h₂ или определять её по уравнению (4.23).

На рисунке 4.5 показаны экспериментальная кривая (рис.4.5а )и кривые описывающие первое (рис. 4.5в) и второе слагаемое (рис.4.5 б). На экспериментальную кривую нанесены результаты вычисления по формуле (4.28) и (4.30) (отмечены крестиками):

h(n) = h₁(n) + h₂(n), (4.31)

где h₁(n) и h₂(n) – уравнения (4.28) и (4.30).

Анализ результатов говорит о хорошем совпадение расчетных и экспериментальных данных. Приведенный пример прост по технологии вычисления, но является трудоемким по количеству вычисленных операций, особенно по подбору значений h₀₁ и h₀₂.

4. Аппроксимирование экспериментальной кривой с использованием первой второй производной и второй производной

На рис. 4.6 приведена экспериментальная кривая с двумя участками наибольшей кривизны. Графически выполнено дифференцирование и построен график первой производной.

Рис. 4.6. Аппроксимация экспериментальной кривой с помощью первой и второй производной.

Для аппроксимирования воспользуемся методикой (п.4.2)

Напомним, что аппроксимирующим уравнением кривой у = f(x) будет следующее выражение:

(4.32)

Выберем точки 1, 2, 3 на начальном участке кривой. Проведем определение первой и второй производных в точке 2. Первая производная в точке 2 может быть определена проведением касательной и определением tg (рис. 4.6). Можно воспользоваться формулами (4.18) и (4.19).

Приближенное значение первой производной на участке 1-2:

(4.33)

значение производной на интервале 2-3:

(4.34)

Значение производной в точке 2:

(4.35)

Вычислим значение второй производной в точке 2:

(4.36)

Проведем вычисление производных при меньшем шаге (х = 30), сохранив неподвижную точку 2.

(4.37)

(4.38)

(4.39)

Как видно из приведенных результатов погрешность определения первой и особенно второй производных зависит от шага интерполирования х.

Все данные, необходимые для расчета параметров аппроксимирующего уравнения сведены в таблице 4.2

Таблица 4.2

№№ точек	xi	yi	∆x	y'	y''	Вычисление значения h1
1	50	130	50	+1,15	-0,003	355,6 ≈ 356
2	100	200
3	150	240
1	70	160	30	+1,083	-0,004	375,8 ≈ 376
2	100	200
3	130	225

Определяем параметры первого слагаемого уравнения (4.32) по формуле (4.22)

(4.40)

(4.41)

Разность значений h₁ по формулам (4.40) и (4.41) составляет 6,6%. Это обязывает осторожно подходить к вычислениям производных по экспериментальным графикам и проводить систематическую проверку полученных значений. Примем в качестве первого приближения h₁ = 376. С учетом данных (табл. 4.2) определяем

(4.42)

Для проверки вычислим значение ₁ по формуле (3.48)

(4.43)

Вычислим ₁ по формуле (4.43) несколько отличается от (4.42), т.к. значение ₁ = 0,81 – это значение в точке 2, а значение ₁ = 0,88 – это значение на интервале 1 - 2.

Вычислим значение параметра

(4.44)

Следовательно, первое слагаемое в уравнении (4.32) будет иметь вид

(4.45)

Для проверки правильности аппроксимации вычислим ряд значений по уравнению (4.45), задаваясь значениями х. Результаты расчета приведены в табл. 4.3

Таблица 4.3

xi	A = 0,81lg xi	N = antilg A	μN	e^-μN	1-e^-μN	y1 (x)
10	0,81	6,457	0,1185	0,8929	0,1071	40,26
50	1,3762	23,77	0,4326	0,6505	0,3495	131,41
100	1,62	41,69	0,7583	0,4677	0,5323	200,14
150	1,7626	57,87	1,0532	0,3504	0,6496	244,24
200	1,8638	73,08	1,3300	0,2725	0,7275	273,54
400	2,1077	128,1	2,3314	0,1003	0,8997	338,29
600	2,2503	178,1	3,2414	0,0389	0,9611	361,37
1000	2,48	269,2	4,8994	0,0074	0,9926	373,21

Анализ данных (табл.4.3) показывает, что кривая, построенная по этим значениям, начиная с х = 100 и почти до х = 700, пройдет выше экспериментальной.

Просчитаем еще один вариант при h₁ = 356; α  0,84, μ  0,0172.

Уравнение первого слагаемого

(4.46)

Результаты расчетов по формуле (4.46) приведены в табл. 4.4

Таблица 4.4

xi	10	50	100	150	200	400	600	1000
yi(xi)	40,26	131,26	199,21	243,15	272,4	330,9	347,2	354,79

Данные табл. 4.4 нанесены на рис. 4.5 крестиками. Совпадение лучше, чем в первом случае, но при необходимости можно привести дальнейшие уточнения.

Перейдем к аппроксимированию второго слагаемого уравнения (4.32). Для этого около второй точки перегиба выбираем наугад 3-4 точки с одинаковым шагом друг от друга (рис.4.6, точки 4, 5, 6, 7).

Сведем в табл.4.5 основные данные. Определим значение первой производной в точке 6. Для этого вычислим величину у на интервале (5, 6).

Таблица 4.5

№№ точек	xi	yi	∆x	y'	y''	Вычисление значения h2
4	1000	440	50	1,1	0,003	457
5	1050	470
6	1100	510
7	1150	580

Значение производной на интервале 6-7:

Значение производной в точке 6:

(4.47)

Для проверки проведем в точке 6 касательную и определим tg = 1,03. Значение 1,1 и 1,03 близки между собой.

Вычислим вторую производную в точке 6:

(4.48)

Тогда по формуле (4.27)

(4.49)

Вычислим

(4.50)

Вычислим

(4.51)

Искомое слагаемое будет иметь вид

(4.52)

Суммарное аппроксимирующее уравнение запишется следующим образом:

+

+ (4.53)

Таблица 4.6

xi	A = 0,81lg xi	N = antilg A	μN	e^-μN	1-e^-μN	y1 (x)	y1 (x) + y2 (x)
100	19,44	0,2754 10^19	0,3100 10^-10	1	0	0	199,2
400	25,2920	0,1959 10^25	0,2205 10^-4	1	0	0	330,8
600	27,0036	0,1008 10^27	0,1135 10^-2	0,999	0,001	0,457	347,6
1000	29,16	0,1445 10^29	0,1627	0,8521	0,1479	67,59	422,4
1050	29,366	0,2323 10^29	0,2615	0,7711	0,2289	104,60	460,6
1100	29,5623	0,3651 10^29	0,411	0,6637	0,3363	153,68	509,7
1150	29,750	0,5623 10^29	0,6330	0,5326	0,4674	213,6	569,6

Проверим вычисление, для чего составим табл. 4.6, в которую будем последовательно записывать операции вычисления по уравнению (4.52).

Результаты расчета табл. 4.6 приведены на рис. 4.7. кривая рис. 4.7 б – второе слагаемое этого уравнения.

На рис. 4.7а приведена экспериментальная кривая с нанесенными результатами проверочного расчета по табл.4.4 и 4.6 , первые помечены крестиком, вторые - кружочками. Визуальный анализ показывает, что даже один цикл вычислений по рекомендуемым формулам, обеспечивает удовлетворительное совпадения эксперимента с результатами аппроксимации.

При необходимости точность полученных результатов можно повысить. Для этого следует пользоваться следующими соображениями.

1. Уточнить значение первой и второй производных, пользуясь уменьшенным шагом интерполирования х или другими известными методами.

2. Помнить, что увеличение параметра  “поднимает” кривую вверх от оси абсцисс и наоборот. Аналогичное действие производит и увеличение параметра h.

3. Изменение параметра  в сторону увеличения смещает кривую влево, к началу координат, и наоборот.

Изложенные соображения позволяют быстро произвести уточнение результатов аппроксимации после первого цикла вычислений.

Если принято решение об изменении величины одного из параметров, то соответствующим образом должны быть поправлены и другие параметры. Исключение составляют только параметр h. Он не зависит от  и , а зависит только от значений функции в выбранных точках и её производных.

Рис. 4.7

5. Некоторые приемы определения горизонтальной асимптоты

Как уже отмечалось, наибольшей трудностью при аппроксимировании экспериментальных кривых трансцендентными уравнениями возникают при определении ординаты асимптоты h, погрешность которой является доминирующей при оценке точности. Отмечалось также, что данный вопрос в своевременной прикладной математики разработан слабо. Рассмотрим некоторые приемы, позволяющие создать подходящую методику нахождения асимптоты h.

За основу примем уравнение

(4.54)

Оно применимо для всех ранее рассмотренных случаев. Учитывая, что параметры  и  на положение ординаты h не влияют, приём  = 1.

Тогда

(4.55)

Первая производная уравнения (4.55)

(4.56)

откуда

(4.57)

Уравнение (4.55) преобразуем к виду.

(4.58)

Подставим выражение (4.58) в уравнение (4.57)

(4.59)

Преобразуем (4.59) к виду

(4.60)

Найдем значение функции и её производной в точках, которые определяются из графика. Для двух соседних точек на графике i и (i+1) совместное уравнение можно записать в виде

(4.61)

Решим уравнение (4.61) относительно h.

(4.62)

Таким образом ордината асимптоты h выражены через значение функции в двух соседних точках и её производных в этих же точках. Напомним, что значение первой производной в точках i и (i+1)

(4.63)

где _i и _i+1- углы касательной в данных точках.

По аналогии был проведен анализ второго слагаемого уравнения (4.4) и получен следующий результат

(4.64)

Однако попытка практического использования не принесла успеха, т.к. по этой функции всегда очень мало экспериментальных результатов и их значения ограничены, как правило, первым участком наибольшей кривизны. Изделия нельзя подвергать дальнейшему испытанию из-за высокой опасности отказа. А формула (4.64) может дать успешный результат функции и её производной в пределах до и после второго участка наибольшей кривизны. Рассмотрим ряд примеров. Определим значение h для кривой (рис. 3.3).

Данные расчеты по уравнению (4.62) приведены в табл. 4.7

Таблица 4.7

№№ точек	yi	βi°	tg βi	yi/y’i+1		1 – (yi/y’i+1)	yi-A	hi
1	0,23	70	2,7474	1,5862	0,5234	-0,5862	-0,2934	0,5085
2	0,33	60	1,7320	2,0641	0,8875	-1,0641	-0,5575	0,5239
3	0,43	40	0,8391	3,3658	1,8512	-2,3658	-1,4212	0,6007
4	0,55	14	0,2493	2,8491	1,7664	-1,8441	-1,2164	0,6578
5	0,62	5	0,0875

По мере чередования точек и приближения к асимптоте значения всё более приближались к определенному из графика h = 0,64. Значения h = 0,66 хорошо совпадают с определенными из графика.

Определенным значениям h по данным (рис. 4.3.) данные измерения и расчеты по уравнению (4.62) приведены в табл. 4.8

Таблица 4.8

№№ точек	yi	βi°	tg βi	yi/y’i+1		1 – (yi/y’i+1)	yi-A	hi
1	0,14	55	1,4281	1,1983	0,2756	-0,1983	-0,1356	0,6838
2	0,23	50	1,1917	2,5556	0,7922	-1,5556	-0,5626	0,3616
3	0,31	25	0,4663	1,2813	0,4761	-0,2813	-0,1641	0,5883
4	0,37	20	0,3639	1,0	0,44	0
5	0,44	20	0,3639	1,0	0,57	0
6	0,57	20	0,3639	1,0	0,72	0
7	0,72	20	0,3639

Как видно из табл. 4.8 и графика, на кривой большой линейный участок, для которого угол наклона касательных совпадает с самой прямой. Поэтому для пар точек, начиная с 4^-ой, знаменатель уравнения (4.62) будет равен нулю, и решения нет, но последняя пара точек 3 и 4 дает значение h = 0,5833. Визуально из графика было принято h = 0,58. Совпадение очень хорошее. Кстати, наличие большого прямолинейного участка свидетельствует о заметном действии второго слагаемого детерминированного закона старения (в данном случае - износа).

Рассмотрим первое слагаемое, описывающее кривую (рис.4.5). Данные по обработке результатов аппроксимирования по параметру h приведены в табл.4.9. Расчет осуществляется по формуле (4.62)

Таблица 4.9

№№ точек	yi	βi°	y'i = = tg βi	yi/y’i+1		1 – (yi/y’i+1)	yi-A	hi
1	130	65	2,1445	2,1445	428,9	-1,1445	-298,9	260,9
2	200	45	1,0	2,1445	514,7	-1,1445	-314,7	275,0
3	240	25	0,4663	1,2146	303,6	-0,2146	-63,6	296,4
4	250	21	0,3839	1,2558	339,0	-0,2558	-89,0	347,9
4а	270	17	0,30573	1,4379	445,7	-0,4379	-175,7	401,23
5	310	12	0,2126	1,0	350	0	350	-
6	350	12	0,2126	1,0	390	0	390	-
7	390	12	0,2126

Как известно (табл. 4.2), значение h получено двояко: при шаге между точками ∆x = 50, h₁ = 356, при шаге ∆x = 30, h₁ = 373. Оба эти значения c данными табл. 4.9 не совпали. Но если взять средние значения из двух последних результатов, то они будут более близкими. Из табл. 4.9 h_cp = 374,6; из табл. 4.2 h_cp = 366; разность составляет 2,5%. Отмеченное расхождение лишний раз свидетельствует о возможных ошибках при вычислении h₁.