3. Практические примеры аппроксимации кривых работоспособности и надежности.

1. Линейная аппроксимация экспериментальных кривых.

Аппроксимация экспериментальных кривых старения уравнениями прямых известно уже давно. Особенно часто оно применяется для аппроксимации кривых износа. Кривую линию или семейство экспериментальных точек заменяют прямой линией (рис. 3.1 экспериментальные кривые выполнены пунктиром, а аппроксимирующие сплошными линиями).

В ряде случаев экспериментальную кривую заменяют прямой 1, проходящей через начало координат (рис. 3.1).

В этом случае аппроксимирующее уравнение будет иметь вид:

y =K x (3.1.)

где

K = γ_ср = tg β (3.2.)

является средней скоростью старения объекта.

Рис.3.1.

При вычислениях необходимо иметь в виду, что соотношение (3.2) справедливо, если масштабы по осям x и y будут одинаковы. В противном случае коэффициент “К” будет пропорционален tg α, но не равен.

Параметр уравнения γ_ср находится непосредственно по графику измерением угла β, или по измеренным абcциccе x_i и ординате y_i, с последующим вычислением γ_ср = x_i / y_i.

Более сложной является аппроксимация уравнением прямой 2, не проходящей через начало координат (рис. 3.1). Уравнение этой прямой имеет вид

y =a₀ + K x (3.4)

где К – имеет тоже смысл, что и в уравнение (3.1), параметр легко находится из графика 2 (рис. 3.1). При x = 0, y = a₀.

Необходимо иметь в виду, что на интервале x₁ расчет по уравнению (3.4) будет иметь значительную погрешность. На этом участке линейная аппроксимация является неприемлемой.

Можно для аппроксимации воспользоваться и уравнением прямой, проходящей через две точки. Если на кривой 2 (рис. 3.1) выбрать две точки m и n, то уравнение аппроксимации прямой можно записать в виде

(3.5)

Параметры K и α, можно выразить следующим образом:

(3.6)

(3.7)

Линейная аппроксимация в задачах надежности и работоспособности применяется для нахождения параметров ряда линейных распределений, плотностей, интенсивности и их детерминированных аналогов. Линейная аппроксимация широко применяется в силу своей просторы и доступности. Однако это представление маскирует сущность происходящих явления и на ряде интервалов по оси абсцисс является весьма неточным.

2. Аппроксимация простейших кривых с одним участком наибольшей кривизны.

К простейшим кривым относятся кривые старения или работоспособности, имеющие один участок наибольшей кривизны (рис. 1.1). Они могут быть выпуклы как вверх, так и вниз. Это не имеет принципиального значения для нахождения величины параметров.

По геометрическому виду кривая h_g (рис. 3.2.) – это неполная кривая износа с одним участком наибольшей кривизны. Кривая стремится к некоторой постоянной величине h – асимптоте.

Рис. 3.2

Следовательно, физически h представляет собой начальный запас физических возможностей объекта, а кривая h_g показывает количество израсходованных физических свойств объекта в любой момент времени. Символ будет иметь смысл начального запаса материала (объема, линейной величины), конструктивно предназначенного для износа от начала эксплуатации до полного выхода изделия из строя.

Поэтому кривая h_g названа детерминированной кривой старения [6].

Кривая r_g, называемая кривой работоспособности объекта [6], является дополняющей кривой к h_g. Это означает, что в любой момент времени выполняется следующее условия:

r_g + h_g = h₀ = Const. (3.8)

Из этого краткого анализа следует, что, аппроксимируя кривую h_g или r_g, можно решить ряд задач и в первую очередь задачу вычисления начального уровня работоспособности по результатам эксперимента.

Рассмотрим ряд соображений по определению (“угадыванию”) структуры уравнений работоспособности и старения. Из литературы [4 – 6, 9] известно, что основным уравнением непрерывных законов работоспособности и надежности является уравнение

(3.9)

При R₀ = 1 уравнение (3.9) будет являться статистической функцией надежности – вероятности безотказной работы.

Вид кривой определяет подлинность подинтегральной функцией λ_r(t). Как указывалось выше, большинство экспериментальных кривых работоспособности и надежности можно аппроксимировать распределением Вейбулла – Гнеденко. В табл. 3.1 приведены основные уравнения старения и работоспособности, выведенные при условии, что старение подчиняется закону Вейбулла – Гнеденко.

Анализ показывает, что практически любые виды кривых могут быть описаны приведенными уравнениями. Рассмотрим конкретный пример аппроксимации.

По геометрическому виду кривая b (рис. 3.3) – это неполная кривая износа. Предполагаемым уравнением при α = 1 может быть экспоненциальное уравнение (табл. 3.1)

(3.10)

Рис 3.3

Аппроксимирование будет заключаться в отыскании значений h₀, и λ, наилучшим образом описывающих экспериментальную кривую. Оно может осуществляться различными приемами и технологией вычислений. Как правило, результаты вычислений будут нередко существенно отличаться друг от друга. Задача вычислений найти наиболее точный вариант вычисления искомых параметров.

Таблица. 3.1

Виды кривых аппроксимирующие формулы при процессах работоспособности и старения, описываемых законом Вейбулла – Гнеденко и экспоненциальным.

Примеры кривых и формул старения	Примеры кривых и формул	Примеры кривых безразмерной скорости старения	Значения параметров для данного вида кривых
			Геометрический параметр 0 < α ≤ 1 Масштабный параметр μ > 0
			α > 2, μ > 0
			1 < α < 2, μ > 0

Геометрический вид кривой определяет экспоненциальная структура уравнения и частично параметр λ. Параметр h₀, с геометрической точки зрения является асимптотой и с хорошей степенью точности может быть принят из графика. Из графика (рис. 3.3) определяем h₀ = 0,64.

Для определения λ воспользуются методом выбранных точек (рис.3.3). Выбираем пять точек; точки следует выбирать на участке с наибольшей кривизной.

В соответствии с принципом Лежандра [10] число точек должно быть больше числа разыскиваемых неизвестных. Это необходимо для уточнение вычисленных значений параметров.

Первый вариант нахождения параметров уравнения.

Запишем в общем виде для выбранных на графике точек (рис. 3.3) уравнения (3.10):

(3.11)

Определим λ из двух соседних уравнений (3.11):

(3.12)

После преобразования получим

(3.13)

Обозначим x₁ = - λ t₁; x₂ = - λ t₂ и подставим в уравнение (3.14):

(3.14)

Приближенное решение уравнения (3.14) можно получить, разложив в ряд и взяв два значащих члена:

(3.15)

После подстановок и преобразований получим

(3.16)

Данное решение является весьма приближенным, и наилучшее приближение имеет место на начальном участке кривой.

Данные расчета λ_i по формуле (3.16) приведенные в таблице 3.2.

Таблица 3.2

№№ точек	ti	hi	λi	Проверочный расчет по уравнению				Разность вычисленных и измерен. значений	%
				ti 2,42			hi
1	0,125	0,23	3,4	0,3025	0,7389	0,2611	0,167	-0,063	27,4
2	0,25	0,33		0,605	0,5461	0,4539	0,290	-0,04	12,1
1	0,125	0,23	2,39	-	-	-	-	-	-
3	0,5	0,43		1,21	0,2982	0,7018	0,449	+0,019	4,4
1	0,125	0,23	1,45	-	-	-	-	-	-
4	1,0	0,55		2,42	0,0889	0,9111	0,583	+0,033	6,0
1	0,125	0,23	0,127	-	-	-	-	-	-
5	2,5	0,62		6,05	0,0023	0,9977	0,638	+10,018	2,9

Как видно из табл. 3.2 значения λ_i увеличиваются при приближении точек к началу координат. Это следует из математической сущности разложения в ряд. Аппроксимирующая кривая а (рис. 3.3) построена по уравнению (3.10) при h₀ = 0,64, λ_i = 3,4. Она прошла выше экспериментальной. При h₀ = 0,64, λ_i = 1,45 кривая с (рис. 3.3) прошла ниже экспериментальной. Отбросим значения λ_i = 0,127, как явно выпадающее из ряда других, и определим среднее арифметическое

(3.17)

При λ = 2,42 имеет место наилучшее приближение к результатам эксперимента (рис 3.3, показанного крестиками). Аппроксимирующее уравнение будет иметь вид

(3.18)

Первая производная

(3.18)

В табл. 3.2 приведены результаты контрольного расчета значений по уравнению (3.18). Как видно из сравнения вычисленных и измеренных значений, наблюдаются существенное несовпадение, особенно на начальном участке кривой.

Алгоритм аппроксимации для вышеприведенного примера будет содержать следующие приемы:

1. По результатам эксперимента строится кривая и осуществляется ее геометрическое аппроксимирование (проводится линия, наилучшим образом соединяющая точки).

2. Определяется асимптота h_o из графика. Можно h_o вычислить решением любого уравнения (3.11), но после определения и усреднения λ.

3. Выбираются точки, не менее четырех, таким образом, чтобы большинство их были на участке с наибольшей кривизной. Составляется таблица значений t_i и h_i.

4. Вычисляются значения λ_i для различных пар точек по уравнению (3.16) и заносятся в табл. 3.2.

5. Резко отличные значения λ_i отбрасываются, по остальным вычисляется среднеарифметическое.

(3.19)

6 Для проверки или определения h_o, если это необходимо, можно воспользоваться уравнением

(3.20)

Второй вариант расчетов

Первый вариант аппроксимации показал, что для повышения точности аппроксимирования в первую очередь наиболее важно определить величину h_o – координату горизонтальной асимптоты. К сожалению, соответствующий раздел математически разработан очень слабо.

Асимптоту можно с достаточной точностью определить из графика (рис. 3.3). В этом случае уравнение (3.10) можно преобразовать следующим образом:

откуда

(3.21)

В табл. 3.3 приведены результаты расчета h_i и λ_i по уравнению (3.21) и проверочные вычисления.

Таблица 3.3

№№ точек	ti	hi		λi	Проверка
					2,4 ti		hi расч	Разность Значений изм. и расч.
1	0,125	0,23	-0,4447	3,55	0,3	0,7408	0,165	-0,065
2	0,25	0,33	-0,7236	2,89	0,6	0,5488	0,288	-0,042
3	0,5	0,43	-1,1147	2,23	1,2	0,3011	0,447	+0,017
4	1	0,55	-1,9589	1,95	2,4	0,0907	0,582	+0,032
5	2,5	0,62	-3,4420	1,37	6,0	0,0024	0,638	+0,018

Как видно из приведенных данных, результаты получились близкими полученными по первому варианту и практически с таким же несовпадением с измеренными значениями.

Третий вариант

К нему необходимо прибегнуть, если не устраивает точность аппроксимации по первым двум вариантам. Попробуем повысить точность аппроксимации, усложним уравнение (3.10) с помощью распределения Вейбулла – Гнеденко [4]:

(3.22)

Преобразуем уравнение (3.22) к виду

(3.23)

Поделим уравнения двух соседних точек друг на друга, прологарифмируем еще раз

(3.24)

отсюда

(3.25)

По формуле (3.25) произведен расчет α_i и α_ср кривой (рис.3 3) при h_o = 0,64, результаты приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

№№ точек	ti	hi						αi
1	0,125	0,23	-0,4447
2	0,25	0,33	-0,7236	2,0	0,30103	1,6272	0,2114	0,702
3	0,5	0,43	-1,1147	2,0	0,30103	1,5405	0,1876	0,623
4	1	0,55	-1,9589	2,0	0,30103	1,7573	0,2448	0,813
5	2,5	0,62	-3,4420	2,5	0,39794	1,7571	0,2447	0,615

Из уравнения (3.23) следует, что

(3.26)

В тбл.3.5 приведен расчет μ_i по формуле (3.26).

Таблица 3.5

№№ точек	ti	hi			μi	Проверка
						1,87ti^0,69	hi	Разность Значений изм. и расч.
1	0,125	0,23	-0,4447	0,2381	3,55	0,4452	0,230	0
2	0,25	0,33	-0,7236	0,3842	2,89	0,7184	0,328	0,002
3	0,5	0,43	-1,1147	0,6198	2,23	1,1590	0,4391	0,009
4	1	0,55	-1,9589	1,0	1,95	1,87	0,5413	0,0087
5	2,5	0,62	-3,4420	1,8818	1,37	3,5189	0,6210	0,001

Искомое уравнение:

Как видно из данных (табл. 3.5), несовпадения результатов измерения и расчета по уравнению не превышает 2%, что позволяет считать точность аппроксимации очень высокой.