2. Некоторые сведения по теории аппроксимации графических функций

   1. Общие сведения.

Аппроксимация в качестве своих составных элементов предусматривает два комплекса приемов.

1.Установление и формирование общего вида и структуры уравнений. Определяется вид, число членов и структура уравнения.

2.Вычесление по экспериментальным данным параметров формул, дающих наилучшее приближение к результатам эксперимента.

Большинство современных работ [2, 10 - 12], рассматривая вопросы аппроксимации, в качестве формул принимают алгебраические уравнения: полином Лагранжа, степенную, показательную и другие функции. Необходимо отметить, что до настоящего времени не разработано алгоритма “угадывания” вида формул и ее структуры. Специалисту, занимающемуся аппроксимированием, необходимо знать вид и структуру уравнений, используемых в той области науки и технике, которой он занимается, и нередко интуитивно применять их.

Как известно, уравнениями работоспособности и надежности являются трансцендентные функции. В данной работе рассматриваются непрерывные дифференцируемые трансцендентные функции.

Особенности этих уравнений заключаются в их трудной разрешимости относительно искомых параметров. В ряде случаев возможны только приближенные решения.

Для нахождения параметров выбранных уравнений в настоящие время применяются способ выбранных точек, метод выравнивания кривых и метод наименьших квадратов [10, 12].

2. Способы выбранных точек.

Сущность названного способа заключается в следующем. На аппроксимируемой кривой произвольно выбирается ряд точек таким образом, чтобы их количество в 1,5 – 2 раза превышало число неизвестных параметров уравнения. Для них записывается система уравнений:

(2.1)

В уравнениях (2.1) y_i, x_i – известные значения аргумента и функций, соответствующие выбранным точкам на графике; α, β, γ – искомые параметры уравнения. Решая уравнения (2.1) относительно искомых параметров, устанавливают их численные значения:

(2.2)

и т.д.

Способ выбранных точек имеет невысокую точность, так как точки выбирают наугад. В соответствии с принципом Лежандра [10] параметры α, β, γ по уравнениям (2.1) вычисляются 2 - 3 раза, для чего выбирается избыточное число точек. Способы вычисления и уточнения полученных результатов будут рассмотрены ниже.

3. Методы выравнивания кривых.

Данный метод является существенно более точным, но имеет ограниченное применение. Сущность его заключается в преобразовании уравнения для понижения порядка или приведения уравнения к известному. Наиболее простым и применяемым способом является линеаризация. Например, нелинейное уравнение вида

(2.3)

заменой переменных можно привести к виду

(2.4)

Уравнение (2.4) представляет собой прямою линию и его параметр легко определяется.

К этому же методу можно отнести более сложные замены экспериментальной кривой, например аппроксимацию параболой, окружностью и т. д.

4. Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов имеет репутацию наиболее точного, но и более трудоемкого с точки зрения техники вычислений. И в этом случае предполагается, что вид уравнения известен:

(2.5)

Должны быть вычислены также все отклонения от средних значений функции при соответствующем значении аргумента:

(2.6)

Наилучшими коэффициентами α, β, γ считаются те, при которых сумма квадратов отклонений будет минимальной.

(2.7)

Используя условия экстремума, можно получить нормальную систему уравнений для определения коэффициентов:

(2.8)

Значения α, β, γ удовлетворяющие уравнению (2.8), будут искомыми коэффициентами.