Розподіл швидкостей і прискорень точок тіла при обертальному русі

При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі будь-яка його точка (наприклад, точка М), що відстоїть від осі обертання на відстані , описує коло радіуса (рис. 2.10). Тоді, якщо за час тіло обернеться на кут , точка здійснить переміщення . Алгебраїчна швидкість точки на цьому переміщенні згідно з формулою (2.13)

,

або

.

(2.28)

Таким чином, швидкість будь-якої точки твердого тіла, що здійснює обертальний рух, дорівнює добутку кутової швидкості тіла на відстань цієї точки до осі обертання.

Вектор швидкості завжди напрямлений по дотичній до кола, яку описує точка, і лежить в площині, перпендикулярній до осі обертання тіла. Інколи швидкість точки називають лінійною або коловою швидкістю.

Проведемо з довільної точки О осі обертання радіус-вектор точки М (рис. 2.10), який утворює кут з віссю обертання. З прямокутного трикутника ОСМ виходить: . Тоді

звідкіля, згідно з векторним добутком двох векторів, отримаємо

.

(2.29)

Тобто вектор швидкості будь-якої точки твердого тіла, що здійснює обертальний рух, дорівнює векторному добутку кутової швидкості тіла, на радіус-вектор цієї точки (формула Ейлера).

При обертальному русі твердого тіла повні прискорення окремих його точок в загальному випадку складаються з тангенціальних і нормальних прискорень (формула 2.19), алгебраїчні значення яких визначаються за формулами (2.18). Цим формулам можна надати іншого вигляду, якщо використати співвідношення (2.28).

Отримаємо

, або, кінцево, ;	(2.30)
, або, кінцево, .	(2.31)

Тоді модуль повного прискорення точки

.

(2.32)

2.3.3. Перетворення найпростіших рухів твердого тіла

Передача обертального руху від одного тіла до іншого здійснюється за допомогою передаточних механізмів, в яких перше тіло називають ведучим, а друге – веденим. Якщо осі обертання ведучого і веденого тіл паралельні або перетинаються, то обертання можна передавати за допомогою зубчастих чи фрикційних передач. В зубчастій передачі обертання передається через зуби коліс, у фрикційній – при наявності сил тертя на поверхнях стичних коліс.

В зубчастих і, при відсутності проковзування, у фрикційних передачах лінійна швидкість в точці стикання буде однаковою як для ведучого, так і для веденого коліс. (рис.2.12), тобто . В свою чергу , , тому і

.

(2.33)

Таким чином, кутові швидкості зубчастих і фрикційних коліс обернено пропорційні їх радіусам.

Рис.2.12

Оскільки числа зубів коліс, що знаходяться в зачепленні, пропорційні їх діаметрам, то для них буде вірним співвідношення

,

(2.34)

де , – кількість зубів першого і другого коліс.

Крім зубчастої і фрикційної передач, існує передача обертального руху на відстані за допомогою гнучкого зв’язку (пас, трос, ланцюг). При відсутності проковзування паса по поверхні шківів лінійні швидкості всіх його точок будуть однаковими (рис. 2.13), тому співвідношення (2.33) буде справедливим і для пасових передач. Маємо:

,

, і

.

З рівняння (2.33) також виходить, що

або .

(2.35)

С

В

Рис. 2.13