2.3.4.2. Визначення швидкостей точок тіла при плоскопаралельному русі

Оскільки плоский рух можна розглядати як такий, що складається з поступального і обертального рухів, то справедливим буде таке твердження: швидкість будь-якої точки твердого тіла, що здійснює плоскопаралельний рух, дорівнює геометричній (векторній) сумі швидкості полюса і лінійної швидкості цієї точки в її обертанні навколо полюса.

Так, якщо за полюс взяти точку А (рис.2.15), то швидкість точки В тіла

.

(2.37)

При цьому швидкість визначається за числовим значенням і напрямом так само, як у випадку обертання тіла навколо нерухомої осі, що проходить через полюс, перпендикулярно до площини руху тіла. Тобто і

.

(2.38)

Рис.2.15

Розв’язання задач кінематики плоскопарлельного руху, в яких потрібно визначити швидкості певних точок твердого тіла, базується на рівнянні (2.37), але використання його у векторній формі в багатьох випадках недоцільне.

Як правило, для отримання конкретних числових значень шуканих величин векторне рівняння (2.37) проектується на осі плосокї системи координат. Так, якщо рух тіла розглядається в координатній площині , отримаємо такі алгебраїчні співвідношення:

звідкіля .

(2.37')

2.3.4.3. Миттєвий центр швидкостей

Можна довести, що при непоступальному русі плоскої фігури в кожний момент часу існує, і при тому єдина, точка з нульовою швидкістю.

Точка плоскої фігури, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю, називається миттєвим центром швидкостей (МЦШ). Надалі МЦШ будемо позначати літерою .

Оберемо за полюс МЦШ. Тоді рівняння (2.37) можна записати так

,

але за визначенням і тому

.

(2.39)

Отже, якщо за полюс вибрати МЦШ, то плоскопаралельний рух тіла зводиться до миттєвого обертального руху навколо миттєвої осі, що проходить через МЦШ перпендикулярно до площини руху цього тіла. Модулі швидкостей всіх точок плоскої фігури будуть прямо пропорційними їх відстаням до МЦШ, а напрями векторів швидкостей будуть перпендикулярними до прямих, які з’єднують ці точки з МЦШ. Саме тому МЦШ називають також миттєвим центром обертання.

Так, наприклад, відповідно до рис 2.15 будемо мати

і .

(2.40)

Способи визначення положення мцш

1. Відомі швидкість певної точки А плоскої фігури і миттєва кутова швидкість цієї фігури. У цьому випадку і . Напрям відрізка визначиться поворотом вектора на кут 90^о в сторону обертання (рис. 2.16).

Рис.2.16

2. Відомі напрями швидкостей двох точок плоскої фігури або, що теж саме, види траєкторій двох точок фігури. Очевидно, що миттєвий центр швидкостей в даний момент буде знаходитись в точці перетину перпендикулярів, поставлених з цих точок до векторів їх швидкостей (наприклад, точки А і В на рис.2.15).

3. Швидкості двох точок плоскої фігури відомі і напрямлені в одну сторону перпендикулярно до відрізка, що їх з’єднує; при цьому . МЦШ знаходиться в точці перетину прямої, що з’єднує кінці векторів швидкостей цих точок, і прямої, проведеної через точки А і В (рис.2.17а).

4. Швидкості двох точок плоскої фігури напрямлені в різні боки і перпендикулярні до відрізка, що з’єднує ці точки. МЦШ знаходиться в точці перетину відрізка АВ і прямої, проведеної через кінці векторів швидкостей точок (рис.2.17, б).

а б в г

Рис.2.17

5. Швидкості двох точок плосокї фігури рівні між собою, паралельні і напрямлені в один бік. (тобто ). МЦШ віддаляється в нескінченність і має місце миттєво-поступальний рух тіла (фігури) (рис.2.17в,г).

6. Кочення без ковзання тіла по нерухомій площині (випадок плоского руху). Очевидно, що в кожний момент часу точка контакту тіла і поверхні має цілком певну швидкість. Але поверхня нерухома, тому і точка контакту, спільна для тіла і поверхні, також має нульову швидкість і, таким чином, є МЦШ для цього тіла (рис.2.18).

Рис. 2.18