2.3.4.4. Прискорення точок при плоскопаралельному русі твердого тіла

Теорема: прискорення будь-якої точки твердого тіла, що здійснює плоский рух, дорівнює геометричній сумі прискорення полюса і прискорення даної точки в її обертальному русі навколо полюса.

Згідно з формулою (2.37) швидкість довільної точки В тіла (дивись рис.2.15).

.

Диференціюємо це рівняння за часом і отримуємо

.

(2.41)

що і потрібно було довести.

В свою чергу, прискорення , як прискорення точки в обертальному русі навколо полюса А, складається з нормального і тангенціального прискорень:

.

(2.42)

Тоді формулі (2.41) можна надати вигляду

.

(2.43)

Модулі векторів і визначають згідно з формулами (2.31) і (2.30):

,

причому вектор напрямлений від точки В до полюса А, а вектор перпендикулярний до відрізка АВ, що з’єднує дану точку з полюсом, і має напрям в бік напряму стрілки кутового прискорення (рис. 2.19).

При розв’язанні задач кінематики плоскопаралельного руху доцільно векторне рівняння (2.43) замінити алгебраїчними рівняннями його проекцій на дві обрані координатні осі. Так, наприклад, в плоскій системі координат Оху будемо мати:

.

(2.44)

Рис.2.19

2.3.4.5. Миттєвий центр прискорень

Миттєвим центром прискорень (МЦП) плоскої фігури, що рухається непоступально ( і одночасно не дорівнюють нулю), називається така її точка , прискорення якої в даний момент часу дорівнює нулю.

Припустимо, що є відомими за модулем і напрямком прискорення будь-якої точки А плоскої фігури, а також кутова швидкість і кутове прискорення цієї фігури. Якщо взяти за полюс точку А, то для точки прискорення

.

Але точка – це МЦП і , тому

.

Таким чином, вектор прискорення точки в її обертанні навколо полюса А протилежний за напрямком вектору , і рівний йому за модулем. Тоді на підставі формули (2.32).

,

(2.45)

звідкіля відстань МЦП від даної точки А

.

(2.46)

Очевидно, що рівняння (2.45) справедливе і для будь-якої іншої точки В плоскої фігури. Тому можна записати, що

.

(2.47)

Останнє співвідношення означає, що прискорення точок тіла, яке здійснює плоский рух, пропорційні їх відстаням до МЦП. Причому вектори прискорень точок тіла утворюють один і той же кут з відповідними відрізками, що з’єднують ці точки з МЦП (рис.2.20). Величина кута визначається на підставі формули (2.21):

.

Рис. 2.20

Способи визначення положення мцп

З вищевикладеного виходить перше правило визначення положення МЦП: щоб знайти положення МЦП, треба відоме прискорення будь-якої точки плоскої фігури (наприклад, точки А) повернути на кут в напрямі обертання фігури, якщо , і протилежно обертанню, якщо . На отриманому промені відкладають відрізок, довжина якого визначається за формулою (2.46).

Другий спосіб визначення МЦП

Припустимо, що відомі прискорення і двох будь-яких точок А і В фігури (рис.2.21). Якщо взяти за полюс точку А, то

.

Звідси вектор відносного прискорення точки В в її русі навколо точки А

.

Відкладаємо з точки В вектор і, додаючи його геометрично до вектора , знайдемо вектор .

Рис. 2.21

Вимірюємо кут між і лінією АВ. З рисунка видно, що вектор , який визначає напрям кутового прискорення фігури, спрямований проти руху годинникової стрілки відносно полюса А. З точок А і В проводимо лінії і під кутом до векторів і , який відкладають також проти руху годинникової стрілки. Точка перетину цих ліній визначає положення МЦП даної плоскої фігури.