4. Властивості пуассоновского потоку.

У теорії масового обслуговування найпростіший потік відіграє таку ж роль, як і нормальний закон розподілу випадкових величин у теорії ймовірностей. Потік вимог буде близьким по своїм характеристиках до найпростішого, якщо він утворюється шляхом додавання випадкових потоків.

Основними властивостями найпростішого потоку є: стаціонарність, ординарність і відсутність післядії.

Потік є стаціонарним, якщо ймовірність надходження певної кількості вимог за деякий проміжок часу залежить тільки від довжини цього проміжку часу й параметра й не залежить від місця розташування цього проміжку часу на часовій осі.

Потік уважається ординарним, якщо в один і той же момент часу надходження двох або більше вимог практично неможливо.

У потоці відсутня післядія, якщо ймовірність надходження певної кількості вимог за деякий проміжок часу не залежить від кількості вимог, які вже надійшли в систему до цього, тобто не залежить від передісторії.

Пуассоновський потік вимог є частковим випадком більш загального потоку – потоку Эрланга. Потік Эрланга r -го порядку можна отримати шляхом просівання пуассоновського потоку.

4. Моделювання пуассоновського потоку.

Візьмем найпростіший (пуассоновський) потік вимог з інтенсивністю (мал.1.1). Позначимо через

Мал 1. 1

проміжки часу між двома сусідніми вимогами. Очевидно, що - випадкові величини.

Функція розподілу дає ймовірність того, що випадкова величина одержить значення, менше за, тобто

(2)

Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина буде менше заданого . Для цього потрібно, щоб в інтервал часу з'явилася хоча б одна вимога. З урахуванням формули (1) можна записати:

(3)

Тут є ймовірність того, що в інтервалі часу не з'явиться жодної вимоги . Таким чином,

(4)

Щоб знайти функцію щільності розподілу випадкової величини _, потрібно продиференціювати функцію за часом . Одержимо,

(5)

Це є функція щільності експонціального закону розподілу. Графіки функцій й при показані на малюнку 1.2.

Мал. 1.2

Таким чином, щоб одержати пуассоновський потік вимог, які надходять у систему, досить згенерувати випадкову величину з експоненціальним законом розподілу.

4. Організація черги.

Дисципліни постановки вимог у чергу й вибору вимог із черги для обслуговування визначають порядок за яким вимоги стають у чергу, якщо пристрій обслуговування зайнятий, і порядок їх виходу із черги для обслуговування, якщо пристрій для обслуговування вільний.

Найпростіша дисципліна обслуговування передбачає постановку вимог у чергу один по одному по мірі їх надходження. Вона має назву перший прийшов – першим обслужений (ПППО), в англомовной літературі – FIFO (First In First Out). Прикладом черги з такою дисципліною може бути черга до телефона - автомата.

Є інший спосіб організації черги, коли для обслуговування вибираються останні в черзі вимоги (останній прийшов – першим обслужений) (ПППО), в англомовной літературі LIFO (Last In First Out). Цей спосіб ще називається «стеком» або «магазином». Прикладом черги з такою дисципліною обслуговування може служити паром для перевезення авто, - автомобіль, який заїхав на паром першим, залишає паром останнім.

Вибір вимог із черги також може бути випадковим. (в англомовной літературі – RANDOM). Наприклад, вибір куль із барабана при грі в лото.

При виборі вимог із черги може також ураховуватися пріоритет.

Черга може мати обмеження по довжині або за часом перебування вимог у ній. У цьому випадку вимоги, що знову надійшли, залишають систему без обслуговування.