Теоретическая часть

Кинематика описывает движения и не затрагивает вопроса о причинах, вызывающих эти движения. Поэтому нет никакой принципиальной разницы между различными системами отсчета, т.е. они все в этом отношении равноправны. В динамике все совершенно иначе. Здесь обнаруживается существенное различие между разными системами отсчета и преимущества одних систем отсчета по сравнению с другими.

Вообще говоря, можно взять любую из бесчисленного множества систем отсчета. Однако законы механики в разных системах отсчета имеют различный вид, и может оказаться, что в произвольно выбранной системе отсчета законы даже совсем простых явлений будут иметь весьма сложный вид. Таким образом, возникает задача нахождения такой системы отсчета, в которой законы механики были бы наиболее простыми.

Для решения этой задачи рассмотрим ускорение материальной точки относительно некоторой произвольной системы отсчета. Какова причина этого ускорения? Как показывает опыт, причиной могут быть как действие на данную точку каких-то определенных тел, так и свойства самой системы отсчета (действительно, относительно разных систем отсчета ускорение в общем случае будет различным).

Можно предположить, что существует такая система отсчета, в которой ускорение материальной точки полностью обусловлено только взаимодействием ее с другими телами. Свободная материальная точка, не подверженная действию никаких других тел, движется относительно такой системы отсчета прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции. Такую систему отсчета называют инерциальной (ИСО).

Утверждение, что инерциальные системы отсчета существуют, составляет содержание первого закона механики – закона инерции Галилея – Ньютона, т.е. существуют такие (инерциальные) системы отсчета, относительно которых материальная точка может двигаться равномерно и прямолинейно, если на нее не действуют никакие тела, или действие всех тел скомпенсировано.

Существование инерциальных систем отсчета подтверждается опытом. Первоначальными опытами было установлено, что такой системой является Земля. Последующие более точные опыты (опыт Фуко и аналогичные ему) показали, что эта система отсчета не совсем инерциальная (хотя во многих случаях систему отсчета связанную с Землей можно считать практически инерциальной), а именно: были обнаружены ускорения, существование которых нельзя объяснить действием каких-либо тел. В то же время наблюдения над ускорениями планет показали инерциальность гелиоцентрической системы отсчета, связанной с центром Солнца и «неподвижными» звездами. Любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической, является также инерциальной.

Вообще существует не одна, а бесчисленное множество инерциальных систем отсчета, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно. Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, называются неинерциальными (НИСО).

Важной особенностью инерциальных систем отсчета является то, что по отношению к ним пространство и время обладают определенными свойствами симметрии. А именно: в этих системах отсчета пространство однородно и изотропно, а время однородно.

Однородность и изотропность пространства заключается в том, что свойства пространства одинаковы в различных точках (однородность), а в каждой точке одинаковы во всех направлениях (изотропность).

Однородность времени заключается в том, что протекание физических явлений (при одних и тех же условиях) в разное время их наблюдения одинаково. Другими словами, различные моменты времени эквивалентны друг другу по своим физическим свойствам.

В случае неинерциальных систем отсчета свойства однородности и изотропности пространства и однородности времени нарушаются.

Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип относительности, согласно которому все инерциальные системы по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу. Это значит, что никакими механическими опытами, проводимыми «внутри» данной системы, нельзя установить, покоится эта система отсчета или движется. Во всех ИСО свойства пространства и времени одинаковы, одинаковы также и все законы механики. Данное утверждение составляет содержание принципа относительности Галилея – одного из важнейших принципов ньютоновской механики.

При изучении на опыте различных движений обнаруживается, что в ИСО всякое ускорение тела вызывается действием на него каких-либо других тел. Влияние другого тела (или тел), вызывающее ускорение тела А, называют силой. Другими словами, причиной ускорения тела является действующая на него сила.

Все силы, с которыми имеет дело механика, обычно подразделяют на силы, возникающие при непосредственном контакте тел (силы давления, трения), и силы, возникающие посредством создаваемых телами полей (силы гравитационные, электромагнитные).

Как показывает опыт, любое тело «оказывает сопротивление» при любых попытках изменить его скорость – как по модулю, так и по направлению. Это свойство, характеризующее степень сопротивления изменению скорости, называют инертностью. Мерой инертности служит величина, называемая массой. Тело с большей массой является более инертным.

Введем понятие массы m, определив отношение масс двух различных тел по обратному отношению ускорений, сообщаемых им равными силами:

.

Такое определение не требует предварительного измерения сил. Достаточно лишь равенства этих сил. Таким образом, сравнение масс двух тел, на которые действует одна и та же сила, сводится к сравнению ускорений этих тел. Единицей массы в СИ является килограмм (кг). В рамках ньютоновской механики масса обладает следующими свойствами:

1) масса – величина аддитивная, т.е. масса составного тела равна сумме масс его частей;

2) масса тела как такового – величина постоянная и не изменяется при его движении.

Как было указано выше, сила является причиной ускорения тела. Однако ускорения, сообщаемые этой силой разным телам, различны. Поэтому для определения силы следует взять величину ma, которая является одинаковой для данной силы. Т.к. ускорение – вектор, то сила также является векторной величиной, совпадающей по направлению с вектором ускорения . Итак, в ньютоновской механике сила, действующая на тело массы m, определяется как произведение ma. Данное определение подтверждается опытными данными и лежит в основе одного из наиболее фундаментальных обобщений ньютоновской механики: произведение массы материальной точки на ее ускорение является функцией положения этой точки относительно окружающих тел, а иногда и функцией ее скорости. Эту функцию обозначают F и называют силой.

Именно в этом и состоит фактическое содержание второго закона Ньютона, который кратко формулируют так:

произведение массы материальной точки на ее ускорение равно действующей на нее силе, т.е.

.

Это уравнение называют уравнением движения материальной точки.

Второй закон Ньютона можно записать в другом виде, а именно

,

т.к. . Единицей силы в СИ является ньютон (Н). Ньютон – это такая сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с².

На всякую материальную точку в данных конкретных условиях действует, строго говоря, всего только одна сила , модуль и направление которой определяются расположением этой точки относительно всех окружающих тел. Часто бывает необходимо эту силу представлять как суммарный результат действия отдельных тел или сил ,

где – сила, с которой действовало бы на данную материальную точку i-тое тело в отсутствие других тел. Таким образом, силы подчиняются принципу суперпозиции. Если в опыте участвуют только два тела, то оказывается, что действия тел друг на друга имеют характер взаимодействия. Ньютон постулировал следующее общее свойство всех сил взаимодействия – третий закон Ньютона:

силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки, т.е.

.

Это значит, что силы взаимодействия всегда появляются парами. Обе силы приложены к разным материальным точкам и, кроме того, являются силами одной природы.

В третьем законе Ньютона предполагается, что обе силы равны по модулю в любой момент времени независимо от движения точек. Это утверждение соответствует ньютоновскому представлению о мгновенном распространении взаимодействий – предположению, которое носит название принципа дальнодействия. Согласно этому принципу, взаимодействие между телами распространяется в пространстве с бесконечно большой скоростью, т.е. если изменить положение (состояние) одного тела, то сразу же можно обнаружить хотя бы очень слабое изменение во взаимодействующих с ним телах, как бы далеко они не находились.

В действительности существует конечная максимальная скорость распространения взаимодействий, которая равна скорости света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона (а также и второй) имеет определенные пределы применимости. Однако при скоростях тел, значительно меньших скорости света, с которыми имеет дело ньютоновская механика, оба закона выполняются с очень большой точностью.

Законы Ньютона являются основными законами механики. Они позволяют в принципе решить любую механическую задачу; кроме того, из них могут быть выведены и все остальные законы механики.

Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой математическое выражение второго закона Ньютона:

.

Это уравнение есть, по существу, дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение – основная задача динамики материальной точки. При этом возможны две противоположные постановки задачи:

1. Найти действующую на точку силу , если известны масса m точки зависимость от времени ее радиус-вектора .

2. Найти закон движения точки, т.е. зависимость от времени ее радиус-вектора , если известны масса m точки, действующая на нее сила (или силы ) и начальные условия – скорость и положение точки в начальный момент времени.

В проекциях на координатные оси основное уравнение динамики записывается в виде:

.

Несмотря на то, что основные уравнения кинематики и динамики прямолинейного движения имеют простую форму и не вызывают сомнения, экспериментальная проверка этих соотношений весьма сложна. Трудности возникают в основном по двум причинам. Во-первых, при достаточно больших скоростях движения тел необходимо с большой точностью измерять время их движения. Во-вторых, в любой системе движущихся тел действуют силы трения и сопротивления, которые трудно учесть с достаточной степенью точности.

Определим, например, время падения тела с высоты h = 1,0 м при g равным 9,8 м/с²:

.

Если при выполнении эксперимента по определению g по времени падения тела с указанной высоты допускается погрешность в измерении времени равная 0,01 с, т.е. возможно получение значений времени 0,46 с или 0,44 с, разброс результатов измерений получается недопустимо большим: g = 9,4 – 10,3 м/с². С целью уменьшения влияния точности измерения времени на результаты измерений можно, например, резко увеличить высоту падения. Но при падении с больших высот достигаются большие скорости движения, что приводит к резкому увеличению сопротивления воздуха, которое трудно учесть.

Трудности рассмотренного опыта связаны с большим значением ускорения свободного падения. Так как ускорение большое, то тело быстро набирает скорость, а при этом или время падения мало и его трудно точно измерить, или сама расчетная формула неточна, т.к. не учитывает трение.

Уменьшить ускорение и одновременно максимально уменьшить силу сопротивления можно с помощью устройства, которое называют машиной Атвуда.