Свойства дифференциалов.

1. , с- const

2. Например :

Под непосредственным интегрированием понимается сведение подынтегрального выражения к табличному виду путём использования тождественных преобразований, таблицы и свойств неопределённых интегралов и дифференциалов.

Например: Найти

Решение: Возведём двучлен во вторую степень и запишем каждое слагаемое в виде степени, затем, произведя почленное деление и, применив соответствующие формулы таблицы, получим:

2. Способы интегрирования.

1. Подведение под знак дифференциала:

2. Интегрирование по частям:

Классы функций, интегрируемых по частям:

a).

б).

в).

или или U= cosx

3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие:

₄

. Интегралы вида

-универсальная подстановка;

_{Для частных случаев:}

_{а) формулы понижения порядка:}

_{б) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:}

_{5. Интегралы вида и}

_{Подстановка}

_{В частности:}

_{для применяется формула}

_{для -формула}

6. _{Интегрирование иррациональностей.}

_{а) подстановка}

б) _{подстановка}

_{в) Тригонометрические подстановки:}

Например:

1) _{решается способом интегрирования по частям.}

_{2) решается способом подведения функции под знак дифференциала.}

_{3) - решается методом подстановки x =sin t .}

Примеры 1-3 решить самостоятельно.

7. 3 Примеры решения задач.

№1 Найти

Решение . Данный интеграл не является табличным. Умножив на _{и на (3) одновременно подинтегральное выражение, получим:}

d3x

№ 2. Найти интеграл:

Решение. Используем интегрирование по частям, т.е используем формулу:

_Имеем:

№ 3. Найти интеграл:

_{Решение: Используем подстановку , чтобы сделать подынтегральное выражение рациональным (без корня).}

Итак,

_{Тогда J примет вид:}

Использованы операции:

1. Замена

2. _{Вынесен постоянный множитель 2.}

3. _{Умножим и разделим на (-1).}

4. _{В числителе подынтегральной дроби прибавили (+1) и (-1).}

5. _{Использовано свойство:}

2. _{Применили табличные формулы:}

₇

_.

. Замена переменной по формуле (из подстановки)