- •Высшая математика Программа, методические указания и задания
- •Часть I
- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание:
- •Содержание программы.
- •Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Неопределенный интеграл.
- •VI. Определенный интеграл.
- •VII. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы.
- •IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
- •Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
- •Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
- •Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
- •Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 1.
- •Тема 7. Неопределённый интеграл.
- •Определение неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.
- •Свойства дифференциалов.
- •Способы интегрирования.
- •7. 3 Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
- •Свойства определённого интеграла по a;b.
- •Правила вычисления определённого интеграла по a;b
- •Несобственные интегралы.
- •Приложения определённого интеграла по a;b
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 9. Функции нескольких переменных.
- •Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.
- •Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов. Основные формулы.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 10. Криволинейный интеграл.
- •Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.
- •9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром с, находится по формуле:
- •10.2. Примеры решения задач.
- •10.3 Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 2
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 1
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 2
-
Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов. Основные формулы.
1. - частная производная 1-го порядка функции z по переменной x.
2. - частная производная 1-го порядка функции Z по переменной y.
вычисляется при постоянном y, вычисляется при постоянном x.
При вычислении , используются правила и формулы дифференцирования (смотреть таблицу производных).
полный дифференциал функции
где - частные дифференциалы
функции
-
Д ля дифференцируемой функции справедливы приближённые равенства.
а) , где - полное приращение функции.
,
Эта функция используется в нахождении приближённых значений функции.
5 .Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от её частных производных первого
п
-
Обозначения частных производных 2-го
порядка от функции z
= f(x,y),
причём
6. - дифференциал второго порядка для функции
7
-
Если z=f (x,y), где то
9 . Производная неявной функции , заданной уравнением ,где F(x,y)-дифференцируемая функция,
вычисляется по формуле:
1
при условии
-
Примеры решения задач.
Задача 1.
функции
Решение:
, где
Задача 2. Найти полный дифференциал функции z = x3y + xtgx
Решение:
- теоретическая формула.
Где
-ответ
Тогда
Задача 3. Вычислить приближённое значение функции в точке P(2,97;4,02)
Решение:
т.Р
Тогда
Или
Или
Задача 4. Найти производную функции в направлении, составляющим с положительным направлением оси (ОХ) угол =60.
Решение:
=60, тогда =30
тогда
- ответ.
Задача 5. Вычислить градиент функции в точке А (2;1).
Решение:
, где - базисные векторы, орты.
Задача 6. Найти смешанные частные производные второго порядка функции
Решение:
Дифференцируя, получаем
Дифференцируя по x (y=const), получаем
Ответ:
Задача 7. Исследовать на экстремум функцию
Решение: (1) - необходимое условие экстремума.
(2) где является решением системы (1).
Неравенство (2) является достаточным условием экстремума.
Причём , если то в точке есть максимум функции.
И если то в точке есть минимум функции.
Имеем:
(1)
есть
экстремум, причём т.к
то в точке P0(0;3) есть максимум
Ответ:
Задача 8.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой x + y -4=0 (рис. 12).
Решение. Чтобы найти наибольшее, и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области, необходимо:
-
найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки не следует;
-
найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; если граница состоит из нескольких линий, то исследование проводится для каждого участка в отдельности;
-
сравнить полученные значения функции и установить наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области.
Находим стационарные точки, лежащие внутри заданной области:
Приравняв нулю частные производные и решив полученную систему
находим стационарную точку Р0(1; 2). Эта точка принадлежит заданной области. Вычислим значение функции в этой точке:
Граница области состоит из отрезка ОА оси Ох, отрезка 0В оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значения функции z на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА
у = 0, а 0 x 4. Если у=0, то z(x) = х2 — 2x + 5. Находим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [0, 4]:
Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, т. е. в точках 0(0; 0) и A(4; 0):
z(0) = 5, z(4)= 13.
На отрезке OB х = 0 и 0 y 4. Если х = 0, то z(y) = 2у 2 -8у + 5. Находим наибольшее и наименьшее значения функции z от переменной у на отрезке [0; 4]:
В точке О (0; 0) значение функции уже было найдено. Вычислим значение функции в точке В:
z(В) = z (0; 4) = 5.
Теперь исследуем отрезок АВ. Уравнением прямой АВ будет у = 4 - х. Подставив это выражение- для у в заданную функцию z, получим
Определим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [0; 4]:
Рз — стационарная точка на отрезке АВ. Вычислим значение функции в этой точке:
Значения функции на концах отрезка АВ найдены ранее.
Сравнивая полученные значения функции z в стационарной точке Ро заданной области, в стационарных точках на границах области P1, Р2, Рз и в точках О, А и В, заключаем, что наибольшее значение в заданной замкнутой области функция z имеет в точке А, наименьшее значение — в точке Ро(1; 2). Итак,
Задача 9. Найти если , где x=acost, y=asint.
Решение:
Речь идёт о дифференцировании сложной функции.
Используя формулу получим
Задача 10.
Исследовать на экстремум функцию z = - 4 + 6x-х2 –ху- у2.
Решение: Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую функцию z = f (x, у) на экстремум, необходимо:
1. Найти частные производные первого порядка и , приравнять их нулю и решить систему уравнений:
Каждая пара действительных корней этой системы определяет одну стационарную точку исследуемой функции.
Пусть ро (х0 , у0) одна из этих точек.
2. Найти частные производные второго порядка и вычислить их значения в каждой стационарной точке.
Положим, что
3. Составить и вычислить определитель второго порядка
4. Если в исследуемой стационарной точке р0( x0, y0) >0, то функция z = f(x, у) в этой точке имеет максимум при A<0 и минимум при A>0; если <0, то в исследуемой точке нет экстремума.
Если = 0, то вопрос об экстремуме требует дополнительного исследования.
Находим стационарные точки заданной функции:
Решение системы даёт x 0= 4, y 0= -2.
Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку Ро(4, - 2).
Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:
Как видно, частные производные второго порядка не содержат х, они постоянны в любой точке и, в частности, в точке Р0(4, -2). Имеем А = -2; В = - 1; С=-2.
Так как >0 и A<0, то в точке Ро(4; -2) данная функция имеет максимум: