4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть дана система (1)

Гаусс при решении системы использовал метод исключения неизвестных. В результате исходная система приводится к треугольному виду:

(2)

В этих таблицах, называемых матрицами, должны быть записаны коэффициенты при неизвестных, а после вертикальной черты-свободные члены.

В системе (2) из последнего уравнения находится неизвестное z, из 2-го-другое неизвестное y, из 1-го- первое неизвестное x.

Задача. Решить систему.

Решение

~ ~

(первую строку умножаем на (-2) и на (-3) и складываем последовательно со второй и третьей строкой соответственно)

~ ~

(умножаем элементы второй строки на (-8) и складываем с 3-ей строкой).

Имеем систему

Из этой системы имеем z =0 (из последней строки), y= -3 (из 2-ой строки), x=2 (из 1-ой строки).

5. Вопросы для самопроверки.

1. В чём суть правила Крамера?

2. Понятие определителя 2-го, 3-го… порядков.

3. Каковы условия единственности решения системы?

4. Изложить два способа вычисления определителя 3-го порядка.

5. Как решить систему уравнений методом Гаусса?

Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.

Ефимов, гл 1-3, 4-6

Данко, гл. 1, §1-5.

1. Основные формулы аналитической геометрии.

1. - длина отрезка между точками и

2. ; - координаты точки деления отрезка в данном отношении.

| | | | |

-отношение величины отрезка от начала отрезка т. M₁ до делящей т. C к величине отрезка от делящей точки C до конца отрезка M₂ .

3. - уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

- угловой коэффициент прямой.

- тангенс угла между двумя прямыми.

-угол между двумя прямыми.

- условие | | двух прямых.

- условие  двух прямых.

y y

b

x x 0 0

рис 1. рис 2.

4. - уравнение пучка прямых.

y

- центр пучка.

M₀

х

0

рис 3.

5. - уравнение прямой, проходящей через две точки и

6. - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору +

y

x

0

рис 4.

7. - уравнение прямой, проходящей через т. , перпендикулярно вектору .

y

x

0

М₀

рис. 5

8. - общее уравнение прямой- уравнение первой степени с двумя неизвестными.

9. - уравнение в отрезках на осях.

y

b

0 a x

рис. 6

10. параметрические уравнения прямой.



, t- переменный параметр.

11. - уравнение окружности с центром в т. O (0;0) и радиусом r. ( рис. 7 )

рис. 7

- уравнение окружности со смещённым центром . (рис. 8)

12. Каноническое уравнение эллипса.

- уравнение эллипса с центром в начале координат.

- уравнение эллипса со смещённым центром в т. O₁(x₀,y₀).

13. Каноническое уравнение гиперболы.

- каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат.

- уравнение гиперболы со смещённым центром O₁ ( x₀, y₀).

14. Каноническое уравнение параболы.

- каноническое уравнение параболы с вершиной в т. O (0,0).

- уравнение директрисы.

- уравнение параболы со смещённой вершиной в т. O₁ (x₀,y₀)