- •Высшая математика Программа, методические указания и задания
- •Часть I
- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание:
- •Содержание программы.
- •Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Неопределенный интеграл.
- •VI. Определенный интеграл.
- •VII. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы.
- •IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
- •Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
- •Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
- •Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
- •Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 1.
- •Тема 7. Неопределённый интеграл.
- •Определение неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.
- •Свойства дифференциалов.
- •Способы интегрирования.
- •7. 3 Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
- •Свойства определённого интеграла по a;b.
- •Правила вычисления определённого интеграла по a;b
- •Несобственные интегралы.
- •Приложения определённого интеграла по a;b
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 9. Функции нескольких переменных.
- •Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.
- •Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов. Основные формулы.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 10. Криволинейный интеграл.
- •Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.
- •9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром с, находится по формуле:
- •10.2. Примеры решения задач.
- •10.3 Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 2
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 1
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 2
-
Вопросы для самопроверки.
-
Дайте определение первообразной функции неопределённого интеграла. Приведите примеры.
-
Сформулировать свойства неопределённого интеграла.
-
В чём заключается геометрический смысл неопределённого интеграла?
-
Назовите основные методы интегрирования.
-
Решите: методом подстановки.
-
Примените формулу интегрирования по частям к интегралу:
-
Объяснить, почему ∫x2cos x3dx решается способом подведения функции под знак дифференциала. Можно ли решить этот интеграл методом подстановки?
Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
Определение: Определённым интегралом по отрезку a;b от функции f (x) называется предел интегральной суммы , если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка a;b на части, ни от выбора точек внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е
Числа a,b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, т.е a;b-отрезок интегрирования.
Свойства определённого интеграла по a;b.
1.
2.
3.
4.
5. С- постоянная
Правила вычисления определённого интеграла по a;b
1
функция
для f(x),
2. - интегрирование по частям.
3. , где x=(t) функция непрерывная вместе со своей производной
на ;
Например: Найти значение определённого интеграла
Решение:
Решаем методом подстановки
x |
1 |
e |
t |
0 |
1 |
Тогда
-
Несобственные интегралы.
К несобственным интегралам относятся:
-
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования вида:
-
Интегралы от разрывных функций (от неограниченных функций).
Пример 1. - несобственный интеграл 2) типа, т.к на отрезке -2;9 функция терпит бесконечный разрыв в точке x=0.
Пример 2. Вычислить
Решение
Пример 3. Вычислить
Решение:
Т.к - чётная функция.
Тогда
Замечание. Если предел несобственного интеграла существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.
Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
-
Приложения определённого интеграла по a;b
1. -площадь криволинейной трапеции, где y=f (x)- кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, aABb- криволинейная трапеция.
2. - площадь криволинейной трапеции, если кривая задана
параметрически:
3. - площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах, где r = r(a) - уравнение кривой.
-
вычисление длины дуги кривой y=f(x) на a;b
5. Вычисления объёма тела вращения.
Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси OX, то объём тела вращения вычисляется по формуле:
6. Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y=f(x), (a x b) вычисляются по формулам (соответственно):
где - дифференциал дуги кривой y=f(x)
7. Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой y=f(x) (a x b)
выражаются формулами:
где L-длина дуги.