- •Высшая математика Программа, методические указания и задания
- •Часть I
- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание:
- •Содержание программы.
- •Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Неопределенный интеграл.
- •VI. Определенный интеграл.
- •VII. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы.
- •IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
- •Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
- •Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
- •Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
- •Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 1.
- •Тема 7. Неопределённый интеграл.
- •Определение неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.
- •Свойства дифференциалов.
- •Способы интегрирования.
- •7. 3 Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
- •Свойства определённого интеграла по a;b.
- •Правила вычисления определённого интеграла по a;b
- •Несобственные интегралы.
- •Приложения определённого интеграла по a;b
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 9. Функции нескольких переменных.
- •Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.
- •Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов. Основные формулы.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 10. Криволинейный интеграл.
- •Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.
- •9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром с, находится по формуле:
- •10.2. Примеры решения задач.
- •10.3 Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 2
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 1
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 2
-
Примеры решения задач.
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 3), В (16; - 6), С (20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.
Решение. 1. Расстояние d между точками А ( x1; y1) и В (х2; y2) определяется по формуле:
(1)
Применяя (1), находим длину стороны АВ: =15
2. Уравнение прямой, проходящей через точки А(х1; у1) и В(х2; y2), имеет вид:
(2)
Подставляя в (2) координаты точек A и В, получим уравнение стороны АВ:
4y-12= -3x+12;
3x+4y-24=0 (AB).
Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
4y= -3x+24; откуда
Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой BC:
;
или y=5,5x-94, откуда kBC=5,5.
3. Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны k1 и k2 вычисляется по формуле:
(3)
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим
В=63°26'. или В 1,11 рад.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид: y—y1 = k(x—x1). (4)
Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как, , то . Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим:
Чтобы найти длину высоты CD, определим сперва координаты точки D-~ точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:
, находим x=8, y=0, т.е D(8;0)
По формуле (1) находим длину высоты CD:
5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:
Следовательно, E (18;5).
Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:
Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений:
x=11, y=4; K (11;4).
6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент получим:
7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:
Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.
рис. 1
Задача 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки A (4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2.
Решение.
(x,y)
рис. 2
В системе координат хОу построим точку A (4;0) и прямую х=1. Пусть М(х; у) —произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую х=1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1,у) (рис. 2).
По условию задачи МА:МВ=2. Расстояния МА и MB находим по формуле (1) задачи 1:
Возведя в квадрат левую и правую части, получим:
или
Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная полуось а=2, а мнимая -
Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство Следовательно, с2=4+12=16; с=4; F 1(— 4; 0), F2(4; 0) — фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка A(4; 0) является правым фокусом гиперболы.
Определим эксцентриситет полученной гиперболы:
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и
Следовательно, или и — асимптоты гиперболы. Прежде чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.
Задача 3. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A (4; 3) и прямой у=1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.
Решение.
рис. 3
Пусть М(х; у) — одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из
точки М перпендикуляр MB на данную прямую у=1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна I, т. е. В (х; 1). По условию задачи МА=МВ. Следовательно, для любой точки М(х; у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:
или
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О (4; 2). Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим x-4=Х и y+2=Y; тогда уравнение параболы принимает вид:
Чтобы построить найденную кривую, перенесем начало координат в точку О' (4; 2), построим новую систему координат XO'Y, оси которой соответственно параллельны осям Ох и Оу, и затем в этой новой системе построим параболу (*) (рис. 3).