4.2.6. Производная и дифференциал

[4],§4; [3],т.1,гл.3,§§2-16; [8],гл.7,§1; [9],гл.2,§§1-6

Вычисление производных

Основные правила дифференцирования:

Если функция и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке:

Таблица производных:

Пример 21. Найти производную функции

Решение: Используем первое и второе правила дифференцирования

Далее используем формулу для нахождения производной степенной функции (табличная формула N 2):

Пример 22. Найти производную функции

Решение: Используем правило дифференцирования произведения и табличные формулы N 4 и N 11:

Пример 23. Найти производную функции

Решение: Используем правило дифференцирования частного и табличные формулы N 9 и N 13:

4.2.7. Дифференцирование сложной функции

Производная сложной функции у = f(u(x)) вычисляется по формуле

То есть, чтобы найти производную сложной функции, нужно сначала продифференцировать "внешнюю" функцию по промежуточному аргументу и так, как если бы аргумент и был независимой переменной, после чего умножить полученный результат на производную от функции и по переменной х.

Это правило распространяется на сложную функцию, состоящую из любого конечного числа дифференцируемых функций.

Пример 24. Найти производную функции

Решение: Данная функция - сложная, промежуточный аргумент . Согласно приведенному правилу имеем

Пример 25. Найти производную функции

Решение: Данная сложная функция составлена из трех функций где Применяем правило дифференцирования сложной функции (начиная дифференцировать с "внешней" функции f ):

4.2.8. Геометрический смысл производной и дифференциала функции

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задана кривая, являющаяся графиком функции и на ней точка Производная функции геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой , т.е. (см. рис.12). Тогда уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

Дифференциал функции f(x) в точке находится по формуле , т.е. равен произведению производной функции в заданной точке на дифференциал(приращение) независимой переменной. Геометрически дифференциал функции в точке представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке и при являются эквивалентными бесконечно малыми. Поэтому справедливо приближенное равенство ~ dy, позволяющее приближенно заменять приращение функции дифференциалом.

Пример 26. Найти координаты точки пересечения с осью Оу касательной к кривой , где , проведенной к ней в точке

Решение: Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Найдем сначала производную :

Вычислим тогда уравнение касательной к заданной кривой в точке Мо(-1,4) запишется в виде:

Теперь находим координаты точки пересечения полученной прямой с осью Оу.

Для всех точек, лежащих на оси , . Подставим в уравнение касательной , получим . Значит, касательная пересекает ось в точке (0,8).

4.2.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Производная функции , заданной в параметрической форме: , находится по формуле

(2)

Пример 27. Найти производные и функции

заданной в параметрической форме

Решение: Вычислим и :

Используя формулу (2), получим

Итак, Так как , то для нахождения можно использовать ту же формулу дифференцирования функции, заданной параметрически, применив ее к функции , то есть:

(3)

Вычислим :