4.3.9. Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле производят по формуле:

Чтобы вновь полученный интеграл был проще исходного , нужно удачно выбрать выражения и и dv в заданном интеграле. Часто при этом удобно пользоваться правилами:

• если под интегралом стоит произведение многочлена на синус, косинус или экспоненту, то в качестве и берем многочлен;

• если подынтегральное выражение является произведением многочлена на какую-либо функцию от логарифма, арктангенса или арксинуса, то за и следует брать именно эту функцию.

Пример 42.Найти

Решение: Обозначим ; тогда Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям, получим:

Иногда предварительно сделанная замена переменной упрощает задачу интегрирования по частям. Возможны ситуации, когда интегрирование по частям следует применить несколько раз.

4.3.10. Интегрирование дробно-рациональных функций от различных выражений

Чтобы проинтегрировать рациональную дробь от аргумента х, ее следует предварительно разложить на сумму простейших дробей. Дробно-рациональная функция от тригонометрических выражений может быть сведена к алгебраической дробно-рациональной функции от нового аргумента t с помощью одной из подстановок:

(«универсальная» тригонометрическая подстановка) .

Пример 43. Найти

Решение: Применим универсальную тригонометрическую подстановку ; при этом Тогда

Разложим дробь, получившуюся под интегралом, на сумму простейших дробей:

Приведем выражение в правой части к общему знаменателю и учтем, что числители обеих дробей равны:

или

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t в правой и левой частях данного выражения:

Теперь из второго уравнения В = -2, из первого и третьего уравнений:

А = 0, тогда и С = 0, D = -В = 2. Итак,

Определенный интеграл

[6],гл.2; [7],гл.2,§§1-5; [3],т.1,гл.9,§§1-6;

[8],гл.10,§1; [9],гл.5,§§2,4,5, [10]

Определенный интеграл вычисляют по формуле Ньютона-Лейбница:

где - первообразная для f(x),F'(x) = f(x).

Если в определенном интеграле производится замена переменной, то надо найти пределы интегрирования для новой переменной. При вычислении определенного интеграла может также использоваться формула интегрирования по частям:

Пример 44. Вычислить

Решение: Введем новую переменную t по формуле: или , откуда (показатель степени у

новой переменной выбирается как наименьшее общее кратное показателей корней: в данном случае 4 - наименьшее общее кратное чисел 2 и 4). Из этой же формулы видно, что если , то , а при . Поэтому

2. Методические указания по выполнению

контрольной работы N4

Несобственные интегралы

[6],гл.2, §6;[7],гл.2, §6;[3],т.I,гл.9, §7;

[8],гл.10, §2; [9],гл.5, §3, [10]

Интеграл называется несобственным в одном из двух случаев:

а) хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен;

б) подынтегральная функция имеет бесконечные разрывы внутри промежутка интегрирования или на его концах.

4.4.1. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку

Несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку называется предел

Он обозначается символом

Если этот предел конечен, то интеграл называется сходящимся, в случаях, если предел бесконечен или не существует, - расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f(х) по промежутку

Наконец, несобственный интеграл по промежутку определяется в виде суммы

где а - произвольное число, при этом сходится только тогда, когда если оба интеграла в правой части сходятся.

Пример 45. Вычислить несобственный интеграл .

Решение:

Следовательно, данный интеграл сходится и равен .

Для выяснения факта сходимости или расходимости несобственного интеграла часто используются следующие теоремы:

Теорема 1. Несобственный интеграл сходится, если сходится интеграл . В этом случае говорят, что интеграл сходится абсолютно.

Теорема 2. Если на промежутке интегрирования функции непрерывны, неотрицательны и , то из сходимости интеграла следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Пример 46. Определить, сходится или расходится несобственный интеграл .

Решение: Заметим, что на всем промежутке интегрирования

Рассмотрим интеграл

Рассмотренный интеграл расходится. Следовательно, по теореме 2, данный несобственный интеграл также расходится.