Глава 4. Механика твердого тела

4.1. Движение твердого тела

Всякое движение твердого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.

Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружности, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Покажем это для случая плоского движения, т.е. такого, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Примером плоского движения может служить качение цилиндра по плоскости (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Качение цилиндра по плоскости

Произвольное перемещение твердого тела из положения 1 в положение 2 (рис. 4.2) можно представить как сумму двух перемещений – поступательного перемещения из положения 1 в положение 1^/ или 1^// и поворота вокруг оси О^/ или оси О^//.

Очевидно, что такое разбиение перемещения на поступательное и вращательное может быть осуществлено бесчисленным множеством способов, однако в любом случае производится поворот на один и тот же угол j.

Рис. 4.2. Перемещение твердого тела

При этом элементарное перемещение какой-либо точки тела можно разложить на два перемещения – поступательное () и вращательное ():

,

причем для всех точек тела одно и то же. Такое разложение перемещения можно осуществить различными способами, причем в каждом случае вращательное перемещение осуществляется поворотом тела на один и тот же угол dj (но относительно различных осей), в то время как и оказывается разными.

Разделив на соответствующий промежуток времени dt, получим скорость точки

,

где – одинаковая для всех точек тела скорость поступательного движения и – различная для разных точек тела скорость, обусловленная вращением.

Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как сумму двух движений – поступательного со скоростью и вращательного с угловой скоростью (вектор на рис. 4.1 направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж). Подобное представление сложного движения можно осуществить множеством способов, отличающихся значениями и но соответствующих одной и той же угловой скорости . Например, движение цилиндра, катящегося без скольжения по плоскости (рис. 4.1), можно представить как поступательное движение со скоростью и одновременное вращение с угловой скоростью вокруг оси О, либо как поступательное движение со скоростью = и вращение с той же угловой скоростью вокруг оси О^//, либо как одно только вращение с той же угловой скоростью вокруг оси О^/.

Приняв систему отсчета, относительно которой рассматривается сложное движение твердого тела, неподвижной, движение тела можно представить как вращение с угловой скоростью в системе отсчета, движущей относительно неподвижной системы поступательно со скоростью .

Линейная скорость точки с радиусом-вектором , обусловленная вращением твердого тела, равна (рис. 4.3.)

Рис. 4.3. Вращение твердого тела

Следовательно, скорость этой же точки при сложном движении тела может быть представлена в виде

. (4.1)

Существуют такие точки (они могут лежать в пределах тела, либо вне его), которые, участвуя в обоих движениях – поступательном и вращательном, будут неподвижными. При заданных и всегда можно найти такое , что (4.1) будет равно нулю.

Пусть в данный момент движущаяся поступательно система отсчета имеет скорость (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Распределение скоростей точек

твердого тела при его вращении

Тело в этой системе вращается с угловой скоростью в направлении, указанном стрелкой. Скорость , обусловленная вращением, имеет для разных точек значения, показанные на рис. 4.4. Для точки О^/ скорости и равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, скорость этой точки относительно неподвижной системы отсчета равна нулю.

Вместе с тем, если имеется хотя бы один вектор , который при векторном перемножении с дает вектор, равный – , то существует еще ряд векторов, которые при векторном перемножении с дают такой же результат, векторное произведение на любой из изображенных на рис. 4.5 векторов имеет одинаковую величину и направление.

Рис. 4.5. Мгновенная ось вращения

Точки, определяемые этими радиусами-векторами, будут в рассматриваемый момент времени неподвижными. Эти точки, как видно из рис. 4.5, лежат на одной прямой и образуют так называемую мгновенную ось вращения. Положение мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы отсчета и относительно самого тела меняется со временем. В случае катящегося цилиндра (рис. 4.1) мгновенная ось О^/ совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью. При качении цилиндра мгновенная ось перемещается как по плоскости (т.е. относительно неподвижной системы отсчета), так и по поверхности цилиндра.

Скорости всех точек тела для каждого момента времени можно считать обусловленными вращением вокруг соответствующей мгновенной оси. Следовательно, плоское движение твердого тела можно рассматривать как ряд последовательных элементарных вращений вокруг мгновенных осей.

В общем случае движение (не плоское) можно представить как вращение вокруг мгновенной оси и происходящее одновременно поступательное перемещение вдоль этой оси.