Глава 10. Вынужденные колебания

10.1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

и его решение в комплексной форме

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора х(t), изменяющегося по гармоническому закону:

х(t)=х₀Соs ωt.

Если рассматривать механические колебания, то роль х(t) играет внешняя вынуждающая сила

f=f₀ Соs ωt.

Колебания, совершающиеся под действием внешней периодически действующей силы, называются вынужденными колебаниями. В этом случае колебания описываются дифференциальным уравнением

, (10.1)

Здесь  - коэффициент затухания;

ω₀ – собственная частота системы;

(F₀ – амплитуда вынуждающей силы);

ω - частота вынуждающей силы.

Уравнение (10.1) является неоднородным. Согласно теореме теории линейных дифференциальных уравнений: общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения (10.1) приведено в главе 9 "Затухающие колебания". Оно имеет вид

, (10.2)

где , а а₀ и  - произвольные постоянные.

Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (10.1). Воспользуемся для этого приемом, состоящим в следующем: прибавим к функции, стоящей в правой части уравнения (10.1), мнимую функцию if₀ Sinωt, после чего, воспользовавшись формулой Эйлера (), представим правую часть в виде . Таким образом, мы приходим к уравнению:

. (10.3)

Это уравнение легче решить, чем уравнение (10.1), так как экспоненту проще дифференцировать и интегрировать, чем тригонометрические функции.

Будем искать частное решение уравнения (10.3) в виде

, (10.4)

где а - некоторое комплексное число. Функция (10.4) также комплексная, что отмечено шляпкой над х. Продифференцировав эту функцию по t, получим:

, . (10.5)

Подстановка выражений (10.4) и (10.5) в уравнение (10.3) приводит после сокращения на общий множитель к алгебраическому уравнению:

.

Отсюда

. (10.6)

Мы нашли значение , при котором функция (10.4) удовлетворяет уравнению (10.3). Представим комплексное число, стоящее в знаменателе, в показательной форме:

. (10.7)

Согласно правилам комплексного исчисления

, . (10.8)

Замена в (10.6) знаменателя в соответствии с (10.7) дает

.

Подставив это значение в (10.4), получим частное решение уравнения (10.3):

.

Наконец, взяв вещественную часть этой функции, получим частное решение уравнения (10.1):

.

Подстановка значения f₀, а также значений (10.8) для  и  приводит к окончательному выражению:

. (10.9)

Отметим, что функция (10.9) не содержит произвольных постоянных. Таким образом, выражение (10.2) в сумме с выражением (10.9) является решением дифференциального уравнения вынужденных колебаний (10.1).