8.6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты w, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем:
(8.38)
,
где
- разность фаз обоих колебаний;
А и В – амплитуды складываемых колебаний.
Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражения (8.38) параметра t. Записывая складываемые колебания в виде:
,
и заменяя во втором
уравнении
на
и
,
получим:
.
(8.39)
Поскольку траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависит от амплитуд складываемых колебаний А и В и разности фаз j.
Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях:
1.
.
В данном случае эллипс вырождается в
отрезок прямой
,
(8.40)
где знак плюс
соответствует нулю и четным значениям
m
(рис. 8.8а), а знак минус – нечетным
значениям m
(рис. 8.8б). Результирующее колебание
является гармоническим колебанием с
частотой w
и амплитудой
,
совершающая вдоль прямой (8.40), составляющей
с осью х
угол
.
В данном случае имеем дело с линейно
поляризованными колебаниями.
Рис. 8.8. Линейно поляризованные колебания
2.
.
В данном случае уравнение примет вид:
.
(8.41)
Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 8.9). Кроме того, если А=В, то эллипс (8.41) вырывается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.
Если частоты
складываемых взаимно перпендикулярных
колебаний различны, то замкнутая
траектория результирующего колебания
довольно сложна. Замкнутые траектории,
прочерчиваемые точкой, совершающей
одновременно два взаимно перпендикулярных
колебания, называются фигурами
Лиссажу. Вид
этих кривых зависит от соотношения
амплитуд, частот и разности фаз
складываемых колебаний. На рис. 8.10
представлены фигуры Лиссажу для различных
соотношений частот (указана сила) и
разрядности фаз (указанны вверху;
разность фаз принимается равной
).
Рис. 8.9. Циркулярно поляризованные колебания
Рис. 8.10. Фигуры Лиссажу
Глава 9. Свободные Затухающие колебания
Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системы. Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание свободных механических колебаний вызывается главным образом трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением в ней упругих волн. При этом происходит уменьшение энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать.
Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Обычно рассматривают линейные системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Например, пружинный маятник, движущийся в вязкой среде, представляет собой линейную систему, если коэффициент сопротивления среды и упругость пружины не зависят от скорости и смещения маятника.