7.6. Релятивистская динамика. Релятивистский импульс

Как оказалось, для замкнутой системы релятивистских частиц закон сохранения ньютоновского импульса не выполняется. Для устранения противоречий необходимо отказаться от ньютоновского определения импульса.

Рассмотрим абсолютно неупругое столкновение двух частиц (система предполагается замкнутой). Пусть в инерциальной системе отсчета К навстречу друг другу движутся две одинаковые частицы (1) и (2) с одинаковой скоростью v₀, но под углом α к оси x. В этой системе отсчета суммарный импульс обеих частиц сохраняется: до и после столкновения он равен нулю (образовавшаяся частица из соображений симметрии, оказывается неподвижной).

Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: К₁, которая движется вправо со скоростью v_1x и К₂, которая движется влево со скоростью v_2x. Частица (1) в системе К₁ и частица (2) в системе К₂ движутся только вдоль оси y с одинаковыми по модулю скоростями, равными u. Рассмотрим столкновение в системе отсчета К₁, где частица (1) имеет скорость u. Найдем y-составляющую скорости частицы (2) в этой системе отсчета, обозначив ее u^/. Эта частица движется со скоростью u вдоль оси y в системе отсчета К₂ и вместе с системой К₂ перемещается влево со скоростью V относительно К₁.

Рис. 7.3. Неупругое столкновение частиц

Согласно (7.17) y-составляющая скорости частицы (2) в системе К₁ равна

. (7.23)

Запишем теперь y-составляющие импульсов обеих частиц в системе К₁: m₁u и m₂u^/. Согласно (7.23) u^/ < u, поэтому легко видеть, что закон сохранения импульса в ньютоновской формулировке не выполняется. Действительно, в нашем случае m₁=m₂ (частицы одинаковые) и y-составляющая суммарного импульса частиц до столкновения отлична от нуля, а после столкновения равна нулю (образовавшаяся частица будет двигаться только вдоль оси х).

Пусть закон сохранения импульса выполняется и в системе К₁, тогда m₁u = m₂u^/. Отсюда с учетом (7.23) получим

.

При (рис. 7.3) и m₁ представляет собой массу покоящейся частицы; ее обозначают m₀ и называют массой покоя. Скорость же V при этом условии оказывается равной v – скорости частицы (2) относительно частицы (1). Поэтому последнюю формулу можно переписать так:

, (7.24)

где m – масса движущейся частицы. Массу m называют релятивистской. Она больше массы покоя и зависит от скорости частицы. Другими словами, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.

В отличие от релятивистской массы масса покоя частицы m₀ – величина инвариантная, т.е. одинаковая во всех системах отсчета. По этой причине можно утверждать, что именно масса покоя является характеристикой частицы.

Напишем выражение для импульса релятивистской частицы. С учетом (7.24) этот импульс записывают в виде

, (7.25)

Это и есть релятивистский импульс частицы. Опыт подтверждает, этот импульс действительно подчиняется закону сохранения независимо от выбора инициальной системы отсчета.

При выражение (7.25) переходит в классическое выражение для импульса , где m₀ – постоянная величина. Аналогично, все другие формулы релятивистской динамики переходят при скоростях, много меньших скорости света в пустоте, в формулы классической механики.

Согласно принципу относительности Эйнштейна, все законы природы должны быть инвариантны по отношению к инерциальным системам отсчета. Иначе говоря, математические формулировки законов должны иметь один и тот же вид во всех этих системах отсчета. В частности, это относится и к законам динамики.

Однако уже основное уравнение динамики Ньютона не удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца при переходе к другой инерциальной системе придают ему совершенно иную форму.

Чтобы удовлетворить требования принципа относительности, основное уравнение динамики должно иметь другой вид и лишь при переходить в ньютоновское уравнение. Этим требованиям в теории относительности удовлетворяет уравнение

. (7.26)

Данное уравнение по виду полностью совпадает с основным уравнением ньютоновской динамики. Однако физический смысл здесь уже другой: слева стоит производная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (7.25). Подставив (7.25) в (7.26), запишем:

. (7.27)

Это и есть основное уравнение релятивистской динамики.

Нетрудно видеть, что именно в таком виде уравнение динамики приводит к сохранению импульса для свободной частицы и при малых скоростях принимает форму основного уравнения ньютоновской динамики.

Кроме того, именно в таком виде основное уравнение динамики оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой сила F преобразуется по определенным законам, т.е. сила F в теории относительности – величина неинвариантная, в разных системах отсчета ее числовое значение и направление будут различны.

Из основного уравнения релятивистской динамики следует вывод: вектор ускорения частицы в общем случае не совпадает по направлению с вектором силы. Чтобы это показать, запишем (7.27) в такой форме:

,

где m – релятивистская масса частицы. Выполнив дифференцирование по времени, получим

.

Это выражение графически представлено на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Направления векторов силы и ускорения

Таким образом, в общем случае вектор ускорения не коллинеарен вектору силы .