Лишки та їх застосування.

1. Лишки

Нехай – ізольована особлива точка функції . Тоді існує такий проколений окіл точки , що функція аналітична в ньому. Нехай – довільний замкнений контур, що повністю належить даному околу і одноразово обходить точку .

Лишком функції в ізольованій особливій точці називається комплексне число

За наслідком з інтегральної теореми Коші даний інтеграл від не залежить.

Якщо функцію розвинути в ряд Лорана в проколеному околі точки , то отримаємо:

а) – у скінченній точці .

Тобто, лишок функції в скінченній ізольованій особливій точці дорівнює коефіцієнту при мінус першій степені в розвиненні даної функції в ряд Лорана в околі цієї точки.

б) – у нескінченно віддаленій точці .

Тобто лишок функції в нескінченно віддаленій ізольованій особливій точці дорівнює мінус коефіцієнту при мінус першій степені в розвиненні даної функції в ряд Лорана в околі цієї точки.

Приклад 1. Знайти .

Розв’язання. Оскільки, , то

Приклад 2. Знайти .

Розв’язання. Оскільки, , то .

Зауваження 1. З означення лишку випливає, що лишок функції в скінченній усувній особливій точці дорівнює нулю , бо ряд Лорана не містить головної частини, тобто .

Зауваження 2. Для випадку таке може бути неправильним, бо входить до правильної частини.

Якщо усувна особлива точка, то

.

Якщо функція має в нуль принаймі другого порядку, то

Зауваження 3. Якщо – простий полюс функції , то

.

Якщо – полюс -го порядку функції , то

.

Справді, якщо – полюс -го порядку, то , де аналітична в околі точки ,а значить , де . Тоді

.

Приклад 3. Знайти .

Розв’язання. Оскільки, є полюсом другого порядку, то згідно формули маємо

Якщо полюс, то перейшовши до функції , отримаємо формулу

.

Зауваження 4. Якщо функція має вигляд дробу , і – простий полюс функції , то

.

Зауваження 5. Якщо – істотно особлива точка, то для знаходження лишку слід безпосередньо скористатися розвиненням функції в ряд Лорана і виділити коефіцієнт .

Зауваження 6. Якщо функція парна, то її лишки в і в дорівнюють нулеві.

Оскільки, для парної функції маємо

,

тобто всі доданки з непарними степенями зникають, отже, .

Приклад. Обчислити вказані лишки:

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

Розв’язання. а) для функції точка – усувна особлива, оскільки

.

Тому .

б) для функції точка – простий полюс, оскільки

;

.

Тому .

в) для функції точка – полюс другого порядку, оскільки

;

.

Тому

.

г) для функції точка – істотно особлива, оскільки не існує ні скінченної, ні нескінченної границі . Знайдемо ряд Лорана:

; ;

.

Тому .

д) для функції точка – істотно особлива, оскільки не існує ні скінченної, ні нескінченної границі . Знайдемо ряд Лорана:

;

.

Тому

.

Лекція 13.

2.Основна теорема про лишки

Теорема 1 (основна теорема про лишки).

Нехай функція аналітична в області з межею за винятком скінченного числа внутрішніх ізольованих особливих точок і неперервна на межі . Тоді інтеграл по контуру дорівнює сумі лишків у всіх внутрішніх ізольованих особливих точках

,

де обхід межі здійснюється в додатному напрямі.

Доведення. Охопимо кожну особливу точку окремим колом так, щоб ці кола не перетиналися одне з одним і з межею . В одержаній багатозв’язній області, що обмежена контурами , , , , функція буде аналітичною. За теоремою Коші (для складеного контуру) справедливо

.

Наслідок 1. Якщо функція аналітична в комплексній площині за винятком скінченного числа ізольованих особливих точок , то сума всіх лишків, включаючи лишок у нескінченно віддаленій точці, дорівнює нулю

.

Наслідок 2. Нехай функція аналітична в комплексній площині. Якщо всередині області з межею знаходяться ізольовані особливі точки , а зовні неї – ізольовані особливі точки , причому , тоді інтеграл по контуру дорівнює взятій з протилежним знаком сумі лишків у всіх зовнішніх ізольованих особливих точках

.

Зауваження 5. Наведені в цьому пункті формули одержані в припущенні, що на контурах інтегрування немає особливих точок.

Приклад 1. Обчислити комплексний інтеграл ,

де а) ; б) .

Розв’язання.Підінтегральна функція має три особливі точки (самостійно переконайтеся в цьому і дослідіть їх характер): – полюс третього порядку, – простий полюс, – істотно особлива точка (рис. 1).

а) усередині кола розміщена тільки одна особлива точка – полюс третього порядку. За основною теоремою про лишки

;

.

б) Перший спосіб. Усередині кола розміщені дві особливі точки – полюс третього порядку і – простий полюс. За основною теоремою про лишки

;

;

.

Другий спосіб. Зовні кола розміщена тільки одна особлива точка – істотно особлива. За наслідком 2 із основної теореми про лишки

.

Розвинемо підінтегральну функцію в ряд Лорана:

;

;

.

Звідси

;

.

Тоді

.

Приклад 2. Обчислити у всіх особливих точках функції .

Розв’язання. Особливими точками є -полюс 5-го порядку, - простий полюс і - усувна особлива точка.

Маємо , , бо в функція має нуль 5-го порядку.

Оскільки сума лишків рівна нулеві, то .