- •Комплексні числа та дії над ними
- •1. Поняття комплексного числа
- •2. Дії над комплексними числами
- •3. Геометрична інтерпретація. Модуль і аргумент комплексного числа
- •4. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа.
- •5. Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах.
- •6. Многочлени. Розкладання на множники. Розв’язання квадратних рівнянь
- •7. Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина
- •8. Відстань між точками. Окіл точки.
- •9. Область та її межа
- •Комплексні функції дійсної змінної.
- •1.Лінії на комплексній площині.
- •2. Диференціювання та інтегрування комплексної функції дійсної змінної.
- •Поняття функції комплексної змінної. Похідна.
- •1. Границя та неперервність
- •2. Похідна. Умови Коші – Рімана.
- •3. Поняття аналітичної функції. Зв’язок аналітичних функцій з гармонічними.
- •4. Геометричний зміст модуля й аргументу похідної. Поняття про конформне відображення.
- •Приклади деяких елементарних функцій комплексної змінної та їх властивості
- •1. Лінійна функція
- •2. Дробово-лінійні функції
- •3. Степенева функція.
- •4. Показникова функція.
- •5. Тригонометричні та гіперболічні функції.
- •Допоміжні формули Ейлера
- •6. Логарифмічна функція.
- •7. Обернені тригонометричні і обернені гіперболічні функції.
- •Інтеграл функції комплексної змінної
- •1. Поняття комплексного інтеграла.
- •2. Первісна функції комплексної змінної. Інтегральна теорема Коші.
- •3. Інтегральна формула Коші та її наслідки
- •Ряди функцій комплексної змінної
- •1. Основні поняття про ряди з комплексними членами.
- •2. Степеневі ряди. Ряд Тейлора.
- •3. Ряд Лорана.
- •Нулі та ізольовані особливі точки
- •Нулі аналітичних функцій.
- •Ізольовані особливі точки та їх класифікація.
- •Лишки та їх застосування.
- •1. Лишки
- •2.Основна теорема про лишки
- •3. Обчислення інтегралів типу .
- •4. Обчислення інтегралів типу .
- •Перетворення Лапласа
- •1. Оригінал
- •2. Зображення
- •3. Лінійність перетворення Лапласа.
- •4. Основні теореми.
- •5. Диференціювання та інтегрування оригіналів та зображень.
- •6. Згортка.
- •Знаходження оригіналу за його зображенням.
- •Застосування операційного числення
- •Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.
- •Розв’язування систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.
4. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа.
Якщо на комплексній площині (рис. 1) ввести також полярну систему координат з полюсом у початку декартової системи координат і полярною віссю, суміщеною з віссю , то точку , що зображає комплексне число можна задати полярними координатами , при цьому полярний радіус , а кут нахилу
Використовуючи зв’язок декартових і полярних координат , , комплексне число можна подати у вигляді
.
Такий запис називається тригонометричною формою комплексного числа.
Якщо звернутись до основної формули Ейлера
,
(її доведення дається в теорії рядів), то від тригонометричної форми можна перейти до показникової форми комплексного числа .
Зауваження. З основної формули Ейлера випливають допоміжні формули Ейлера:
; ;
; .
Приклад 1. Зобразити на комплексній площині і подати в тригонометричній та показниковій формах наступні комплексні числа, що задані в алгебраїчній формі:
; ; ; ; .
Розв’язання. Побудуємо задані числа на комплексній площині (рис. 3):
Знайдемо модуль і головне значення аргументу кожного з даних чисел та запишемо їх у тригонометричній та показниковій формах:
1) : ; ;
;
;
.
2) : ; ; ;
; .
3) : ; ; ;
.
4) : ; ; ;
; .
5) : ; ; ;
; .
Лекція 2.
5. Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах.
Якщо комплексні числа задані в тригонометричній формі, то їх добуток:
.
Якщо комплексні числа задані в показниковій формі, то:
Отже, добутком двох комплексних чисел і є комплексне число, модуль якого дорівнює добутку модулів, а аргумент – сумі аргументів співмножників, тобто
, .
Якщо комплексні числа задані в тригонометричній формі, причому , то частка:
.
Якщо комплексні числа задані в показниковій формі, то:
.
Отже, часткою двох комплексних чисел і , є комплексне число, модуль якого дорівнює частці модулів діленого і дільника , а аргумент – різниці аргументів діленого і дільника, тобто
, .
Натуральним степенем комплексного числа називається комплексне число, отримане множенням числа самого на себе раз, де – натуральне число.
Із правила множення комплексних чисел в тригонометричній формі випливає перша формула Муавра:
.
Приклад 1. Піднести до степеня: .
Розв’язання. Запишемо число в тригонометричній формі
.
За першою формулою Муавра
.
Коренем -го степеня з комплексного числа називається таке комплексне число, -й степінь якого дорівнює :
Очевидно, що корінь -го степеня з нуля дорівнює нулю.
Якщо комплексне число відмінне від нуля , то корінь -го степеня має рівно різних значень, що визначаються за другою формулою Муавра:
,
де ; – арифметичне значення кореня з додатного числа.
На комплексній площині всі корені -го степеня з комплексного числа зображуються вершинами правильного -кутника, вписаного в коло з центром у початку координат і радіусом .
Приклад 2. Знайти всі значення кореня: а) ; б) .
Розв’язання. а) Запишемо підкореневе число в тригонометричній формі
.
За другою формулою Муавра
, де .
При : .
При : .
б) Запишемо підкореневе число в тригонометричній формі .
За другою формулою Муавра
,
, де .
При .
При .
При .