- •Комплексні числа та дії над ними
- •1. Поняття комплексного числа
- •2. Дії над комплексними числами
- •3. Геометрична інтерпретація. Модуль і аргумент комплексного числа
- •4. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа.
- •5. Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах.
- •6. Многочлени. Розкладання на множники. Розв’язання квадратних рівнянь
- •7. Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина
- •8. Відстань між точками. Окіл точки.
- •9. Область та її межа
- •Комплексні функції дійсної змінної.
- •1.Лінії на комплексній площині.
- •2. Диференціювання та інтегрування комплексної функції дійсної змінної.
- •Поняття функції комплексної змінної. Похідна.
- •1. Границя та неперервність
- •2. Похідна. Умови Коші – Рімана.
- •3. Поняття аналітичної функції. Зв’язок аналітичних функцій з гармонічними.
- •4. Геометричний зміст модуля й аргументу похідної. Поняття про конформне відображення.
- •Приклади деяких елементарних функцій комплексної змінної та їх властивості
- •1. Лінійна функція
- •2. Дробово-лінійні функції
- •3. Степенева функція.
- •4. Показникова функція.
- •5. Тригонометричні та гіперболічні функції.
- •Допоміжні формули Ейлера
- •6. Логарифмічна функція.
- •7. Обернені тригонометричні і обернені гіперболічні функції.
- •Інтеграл функції комплексної змінної
- •1. Поняття комплексного інтеграла.
- •2. Первісна функції комплексної змінної. Інтегральна теорема Коші.
- •3. Інтегральна формула Коші та її наслідки
- •Ряди функцій комплексної змінної
- •1. Основні поняття про ряди з комплексними членами.
- •2. Степеневі ряди. Ряд Тейлора.
- •3. Ряд Лорана.
- •Нулі та ізольовані особливі точки
- •Нулі аналітичних функцій.
- •Ізольовані особливі точки та їх класифікація.
- •Лишки та їх застосування.
- •1. Лишки
- •2.Основна теорема про лишки
- •3. Обчислення інтегралів типу .
- •4. Обчислення інтегралів типу .
- •Перетворення Лапласа
- •1. Оригінал
- •2. Зображення
- •3. Лінійність перетворення Лапласа.
- •4. Основні теореми.
- •5. Диференціювання та інтегрування оригіналів та зображень.
- •6. Згортка.
- •Знаходження оригіналу за його зображенням.
- •Застосування операційного числення
- •Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.
- •Розв’язування систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.
4. Геометричний зміст модуля й аргументу похідної. Поняття про конформне відображення.
Нехай аналітична функція відображає область -площини на область -площини (рис. 2), при цьому точці відповідає точка , а дуга довільної гладкої кривої переходить у дугу відповідної гладкої кривої .
Нехай похідна скінченна і відмінна від нуля , а прямує до нуля вздовж кривої .
Л окальним коефіцієнтом розтягу в точці називається границя відношення довжин дуги-образу і дуги-прообразу : .
Замінюючи відношення дуг відношенням їх хорд, можна одержати:
.
Геометричний зміст модуля похідної: оскільки границя не залежить від характеру прямування до нуля (від вибору кривої ), то локальний коефіцієнт розтягу в точці під дією аналітичної функції в усіх напрямах однаковий і дорівнює модулю похідної (властивість сталості розтягу).
Нехай і – кути нахилу дотичних відповідно до кривої у точці і до кривої у точці .
Локальним коефіцієнтом повороту в точці називається різниця кутів нахилу дотичних відповідно до дуги-образу і дуги-прообразу : .
Оскільки кут нахилу дотичної дорівнює границі кута нахилу січної, , а з диференційовності випливає неперервність, то
.
Геометричний зміст аргументу похідної: локальний коефіцієнт повороту в точці під дією аналітичної функції не залежить від вибору кривої і дорівнює аргументу похідної . Якщо через точку провести дві різні лінії, то кут між образами дорівнюватиме куту між прообразами як за величиною, так і за напрямом (властивість консерватизму (зберігання) кутів).
Відображення, що має властивості консерватизму кутів та сталості розтягу, називається конформним.
Отже, аналітична функція здійснює конформне відображення у кожній точці , де і .
Відображення називається конформним в області , якщо воно конформне в кожній точці цієї області.
Зауваження 1. При конформному відображенні нескінченно малі фігури перетворюються в подібні собі нескінченно малі фігури. Проте від точки до точки значення коефіцієнтів і змінюються, тому форми скінченних фігур змінюються, хоча зберігаються кути між лініями.
Основна задача конформного відображення: знайти аналітичну функцію , яка однолисто і конформно відображає задану область -площини на область -площини. Якщо ці області однозв’язні та їх межі складаються більш ніж з однієї точки, то ця задача має нескінченну кількість розв’язків. Для виділення конкретного розв’язку треба задати додаткові умови, наприклад, образи однієї внутрішньої та однієї межової точки області .
Зауваження 2. Викликає значний інтерес також більш проста задача: знайти образ однозв’язної області при заданому відображенні аналітичною функцією . Правило її розв’язання: 1) знаходимо образ межі області , при цьому лінія розбиває -площину на частини; 2) щоб вибрати з них відповідну частину , треба скористатися принципом збереження напряму обходу: якщо задана орієнтація межі області , то при відображенні образ повинен залишатися по ту ж сторону від межі, що й прообраз .
Приклад 1. Визначити, яка частина комплексної площини розтягується і яка стискається при відображенні ?
Розв’язання. Знайдемо похідну:
.
Обчислимо її модуль: .
Оскільки коефіцієнт лінійного розтягу дорівнює модулю похідної, то область, де , стискається, а область, де , розтягується. Знайдемо межову лінію:
; ; ;
; .
Таким чином, межею служить коло з центром у точці і радіусом (рис. 3). Внутрішня частина круга стискається, а зовнішня – розтягується.
Приклад 2. Знайти образ квадрата (рис. 3) при відображенні функцією .
Розв’язання. Знаходимо дійсну й уявну частини заданої функції:
;
; .
Визначаємо образи сторін квадрата:
1) , тому ; .
Образом відрізка служить відрізок , паралельний осі .
2) , тому ; . Тоді ; . Образом відрізка служить дуга параболи .
3) , тому ; . Тоді ; . Образом відрізка служить дуга параболи .
4) , тому ; . Тоді ; .
Образом відрізка служить дуга параболи .
Контур розбиває -площину на дві частини: внутрішню і зовнішню (рис. 4). Користуючись відповідністю кутових межових точок і принципом збереження напряму обходу контуру, визначаємо, що образом квадрата служить внутрішня
Лекція 6.