- •Комплексні числа та дії над ними
- •1. Поняття комплексного числа
- •2. Дії над комплексними числами
- •3. Геометрична інтерпретація. Модуль і аргумент комплексного числа
- •4. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа.
- •5. Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах.
- •6. Многочлени. Розкладання на множники. Розв’язання квадратних рівнянь
- •7. Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина
- •8. Відстань між точками. Окіл точки.
- •9. Область та її межа
- •Комплексні функції дійсної змінної.
- •1.Лінії на комплексній площині.
- •2. Диференціювання та інтегрування комплексної функції дійсної змінної.
- •Поняття функції комплексної змінної. Похідна.
- •1. Границя та неперервність
- •2. Похідна. Умови Коші – Рімана.
- •3. Поняття аналітичної функції. Зв’язок аналітичних функцій з гармонічними.
- •4. Геометричний зміст модуля й аргументу похідної. Поняття про конформне відображення.
- •Приклади деяких елементарних функцій комплексної змінної та їх властивості
- •1. Лінійна функція
- •2. Дробово-лінійні функції
- •3. Степенева функція.
- •4. Показникова функція.
- •5. Тригонометричні та гіперболічні функції.
- •Допоміжні формули Ейлера
- •6. Логарифмічна функція.
- •7. Обернені тригонометричні і обернені гіперболічні функції.
- •Інтеграл функції комплексної змінної
- •1. Поняття комплексного інтеграла.
- •2. Первісна функції комплексної змінної. Інтегральна теорема Коші.
- •3. Інтегральна формула Коші та її наслідки
- •Ряди функцій комплексної змінної
- •1. Основні поняття про ряди з комплексними членами.
- •2. Степеневі ряди. Ряд Тейлора.
- •3. Ряд Лорана.
- •Нулі та ізольовані особливі точки
- •Нулі аналітичних функцій.
- •Ізольовані особливі точки та їх класифікація.
- •Лишки та їх застосування.
- •1. Лишки
- •2.Основна теорема про лишки
- •3. Обчислення інтегралів типу .
- •4. Обчислення інтегралів типу .
- •Перетворення Лапласа
- •1. Оригінал
- •2. Зображення
- •3. Лінійність перетворення Лапласа.
- •4. Основні теореми.
- •5. Диференціювання та інтегрування оригіналів та зображень.
- •6. Згортка.
- •Знаходження оригіналу за його зображенням.
- •Застосування операційного числення
- •Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.
- •Розв’язування систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.
3. Обчислення інтегралів типу .
Нехай -дробово-раціональна функція. Зробимо заміну . Тоді
Крім того, , тобто обійде коло радіуса 1 з центром в початку координат один раз. Ми отримаємо, що
За умови, що не має на колі особливих точок, цей інтеграл можна знайти з допомогою лишків.
Приклад 3. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Зробимо заміну . Тоді
.
4. Обчислення інтегралів типу .
Нехай аналітична в за винятком скінченної кількості точок, які не лежать на дійсній осі, а в має нуль принаймі 2-го порядку. Тоді , . Позначимо через дійсну вісь, тоді
Приклад 1. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Оскільки функція має особливі точки , які не лежать на дійсній осі і має в нуль другого порядку, то
.
Лема (лема Жордана). Нехай функція аналітична в замкненій верхній півплощині , за винятком скінченої кількості точок, і де – півколо (рис.33). Тоді якщо , то
.
Наслідок 1. Якщо функція задовольняє умови леми Жордана і на дійсні осі не має особливих точок, а число й, то
.
Наслідок 2. Нехай задовольняє умови леми Джордано, на дійсній осі не має особливих точок і при . Тоді
та
.
Приклад 2 . Обчислити дійсний невласний інтеграл
.
Розв’язання. Відповідна комплексна функція у верхній півплощині має одну особливу точку – простий полюс. Знайдемо лишок:
.
Тоді, виділяючи дійсну частину, за наслідком леми Жордана отримаємо
.
Зауваження. Інколи зручно формувати контур інтегрування у вигляді прямокутника чи криволінійного трикутника.
Лекція 14.
Перетворення Лапласа
1. Оригінал
Означення 1. Комплекснозначна функція дійсної змінної називається оригіналом, якщо вона задовольняє такі умови:
1) при ;
2) при функція кусково-неперервна, тобто на будь-якому проміжку має не більш ніж скінченну кількість розривів першого роду;
3) при функція має обмежений степінь зростання, тобто існує таке додатне число і таке невід’ємне число , що для всіх виконується нерівність
.
Точну нижню межу (найменше значення) , для якого виконується умова 3), називають показником росту функції .
Функції-оригінали при або обмежені або прямують до нескінченності не швидше, ніж показникові функція . Такі функції ще називають функціями експоненціального типу.
Найпростішим прикладом оригіналу є одинична функція Хевісайда
(достатньо взяти ).
Якщо задовольняє умови 2) і 3), то функція
є оригіналом. Тому надалі для скорочення запису домовимось замість писати і пам’ятати, що при рівна нулеві.
Функції є оригіналами. Проте далеко не всі функції є оригіналами. Наприклад, не є оригіналом, бо не виконується умова 3); функція теж не є оригіналом, бо не виконується умова 2).
Зауваження. Якщо і оригінали, то для довільних сталих функції , при , , , та також є оригіналами.
2. Зображення
Означення 2. Зображенням (перетворенням Лапласа) функції-оригіналу називається функція комплексної змінної , що визначається інтегралом Лапласа:
.
Символічно перетворення Лапласа записують або .
Зрозуміло, що потрібно з’ясувати, де ж інтеграл Лапласа збігається.
Теорема 1. Якщо функція – оригінал з показником росту , то інтеграл Лапласа абсолютно збігається в півплощині , а саме
,
і є в цій півплощині аналітичною функцією.
Теорема 2 (необхідна умова існування зображення). Якщо функція – зображення функції з показником росту , то .
Знайдемо зображення деяких функцій, використовуючи означення.
Приклад 1. Знайти зображення одиничної функції Хевісайда.
Розв’язання. Функція є оригіналом з показником росту . Інтеграл Лапласа
.
Якщо , то . Таким чином, .
Приклад 2. Знайти зображення функції .
Розв’язання. Функція є оригіналом з показником росту . Інтеграл Лапласа
.
Оскільки , то при . Отже, .