6. Многочлени. Розкладання на множники. Розв’язання квадратних рівнянь

Функція комплексної змінної

називається многочленом -го степеня стандартного вигляду.

Тут – комплексний аргумент: – степінь многочлена; – сталі ком­плексні коефіцієнти; називається старшим коефіцієнтом, причому ; називається вільним членом.

Теорема 1 (теорема Безу). При діленні многочлена на різницю остача від ділення дорівнює .

Доведення. . Нехай , тоді .

Наслідок 1. Якщо – корінь многочлена , то цей многочлен ділиться без остачі на різницю , тобто розкладається на множники ,

де частка – многочлен на одиницю меншого степеня.

Теорема 2 (основна теорема алгебри). Будь-який много­член ненульового степеня має хоча б один корінь (дійсний чи комплексний).

Наслідок 2. Будь-який много­член ненульового сте­пе­ня має рівно коренів, серед яких можуть бути однакові.

Наслідок 3. Якщо комплексне число є коренем многочлена, у якого всі коефіцієнти дійсні числа, то є також коренем цього многочленна.

Наслідок 4. Будь-який много­член ненульового сте­пе­ня розкладається на множники у вигляді:

,

де – старший коефіцієнт; – різні (дійсні чи комплексні) корені; – відповідні кратності цих коренів, причому .

Корені квадратного рівняння

з комплексними коефіцієнтами знаходяться за відомими формулами

,

де – одне зі значень квадратного кореня з дискримінанта .

На множині комплексних чисел для коренів квадратного рівняння залишається справедливою теорема Вієта:

, .

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання.

а) ; ; .

б) ;

;

; ; .

в) зробимо заміну

Приклад 2. Розкласти многочлени на множники на множині комплексних чисел:

а) ; б) .

Розв’язання .

а) враховуючи попередній приклад і наслідок 4, маємо

;

б) .

Лекція 3.

7. Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина

Розглянемо сферу Рімана, тобто сферу одиничного діаметра, центр якої лежить на осі і яка дотикається до площини в початку координат. Тоді довільний промінь, який виходить з точки і перетинає сферу перетинає також площину . Точку сфери називають стереографічною проекцією відповідної точки площини.

Якщо прийняти, що точка є стереографічною проекцією нескінченно віддаленої точки , то така відповідність буде взаємно однозначною.

Вся комплексна площина , що доповнена нескінченно віддаленою точкою , називається розширеною комплексною площиною .

Зауваження 1. Для числа модуль дорівнює , а поняття аргументу, дійсної та уявної частини позбавлені змісту.

8. Відстань між точками. Окіл точки.

Відстанню між точками, що зображають комплексні числа і , називається довжина відповідного вектора, тобто .

Нехай – довільне додатне дійсне число , .

Множина точок , що задовольняють умову , на­зиваєть­ся -околом скінченної точки і позначають . Окіл точки – це внутрішність круга з цент­ром в цій точці і радіусом (-окіл точки заштрихований на рис.1).

Нехай – довільне додатне дійсне число .

Множина точок , що задовольняють умову , називається -околом нескінченно віддаленої точки . Окіл точки – це зовнішність круга з цент­ром в початку координат і радіусом (-окіл точки заштрихований на рис.2).