- •Комплексні числа та дії над ними
- •1. Поняття комплексного числа
- •2. Дії над комплексними числами
- •3. Геометрична інтерпретація. Модуль і аргумент комплексного числа
- •4. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа.
- •5. Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах.
- •6. Многочлени. Розкладання на множники. Розв’язання квадратних рівнянь
- •7. Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина
- •8. Відстань між точками. Окіл точки.
- •9. Область та її межа
- •Комплексні функції дійсної змінної.
- •1.Лінії на комплексній площині.
- •2. Диференціювання та інтегрування комплексної функції дійсної змінної.
- •Поняття функції комплексної змінної. Похідна.
- •1. Границя та неперервність
- •2. Похідна. Умови Коші – Рімана.
- •3. Поняття аналітичної функції. Зв’язок аналітичних функцій з гармонічними.
- •4. Геометричний зміст модуля й аргументу похідної. Поняття про конформне відображення.
- •Приклади деяких елементарних функцій комплексної змінної та їх властивості
- •1. Лінійна функція
- •2. Дробово-лінійні функції
- •3. Степенева функція.
- •4. Показникова функція.
- •5. Тригонометричні та гіперболічні функції.
- •Допоміжні формули Ейлера
- •6. Логарифмічна функція.
- •7. Обернені тригонометричні і обернені гіперболічні функції.
- •Інтеграл функції комплексної змінної
- •1. Поняття комплексного інтеграла.
- •2. Первісна функції комплексної змінної. Інтегральна теорема Коші.
- •3. Інтегральна формула Коші та її наслідки
- •Ряди функцій комплексної змінної
- •1. Основні поняття про ряди з комплексними членами.
- •2. Степеневі ряди. Ряд Тейлора.
- •3. Ряд Лорана.
- •Нулі та ізольовані особливі точки
- •Нулі аналітичних функцій.
- •Ізольовані особливі точки та їх класифікація.
- •Лишки та їх застосування.
- •1. Лишки
- •2.Основна теорема про лишки
- •3. Обчислення інтегралів типу .
- •4. Обчислення інтегралів типу .
- •Перетворення Лапласа
- •1. Оригінал
- •2. Зображення
- •3. Лінійність перетворення Лапласа.
- •4. Основні теореми.
- •5. Диференціювання та інтегрування оригіналів та зображень.
- •6. Згортка.
- •Знаходження оригіналу за його зображенням.
- •Застосування операційного числення
- •Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.
- •Розв’язування систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.
6. Згортка.
Oзначення. Згорткою двох функцій і називається функція , яка визначається рівністю
.
Операція згортання позначається так: .
Теорема 1. .
Доведення. .
Приклад. Знайти згортку функцій і .
Розв’язання. Маємо
Теорема 2 (про згортку). Якщо , , то
,
де .
У такому формулюванні цю теорему використовують для знаходження оригіналу за заданим зображенням.
Приклад 5. За зображенням знайти .
Розв’язання. Подамо це зображення у вигляді добутку двох множників, оригінали яких відомі:
,. Тоді,
Теорема 6. Якщо, і – оригінал, то
,
де , -показники росту оригіналів.
Цю формулу називають формулою Дюамеля.
Доведення.
Приклад. Знайти оригінал зображення .
Розв’язання. .
Отже, .
Лекція 16.
Знаходження оригіналу за його зображенням.
Для знаходження оригіналу за відомим зображенням можна використовувати формулу обернення Мелліна: якщо функція є оригіналом з показником росту , а – її зображенням, то в довільній точці , в якій функція неперервна
,
де інтегрування здійснюється вздовж довільної прямої .
На практиці для знаходження оригіналу використовуються наступні прийоми.
А. Розклад на прості дроби.
Якщо є дробово-раціональною функцією, причому степінь чисельника менший за степінь знаменника , то цей дріб розкладають на суму простих дробів і знаходять оригінали для кожного простого дробу безпосередньо за таблицею зображень оригіналів.
Приклад 1. Знайти оригінал функції .
Розв’язання. Функція є простим дробом. Розкладемо її на суму таких дробів, оригінали яких можна знайти за таблицею зображень оригіналів.
,
.
Остаточно, .
Приклад 2. Знайти оригінал функції .
Розв’язання. Розкладемо функцію на прості дроби:
.
Тоді, , звідки , , . Таким чином,
,
.
Остаточно, .
Б. Перша теорема про розклад.
Теорема 1. Якщо ряд Лорана зображення функції має вигляд
,
то .
Приклад 3. Знайти оригінал функції , використовуючи першу теорему розкладу.
Розв’язання. Маємо , якщо .
Тоді, .
Приклад 4. Знайти оригінал функції .
Розв’язання. Маємо . Тоді, .
В. Друга теорема про розклад.
Нехай – дробово-раціональна функція, тобто вона є відношенням двох многочленів
,
де і коефіцієнти – дійсні числа. Знайдемо всі корені многочлена у знаменнику і розкладемо його на множники. Тоді
,
де – корінь знаменника кратності (полюс порядку функції ).
Теорема 2. Якщо – правильна дробово-раціональна функція, полюси якої , то
.
З теорії лишків відомо, що , тому .
Приклад 5. Знайти оригінал за зображенням .
Розв’язання. Подамо це зображення у вигляді . Точки та є полюсами функції другого порядку. Обчислимо лишки функції в цих точках:
,
.
За другою теоремою розкладу
Застосування операційного числення
-
Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.
Розглянемо задачу Коші для лінійного диференціального рівняння -го порядку зі сталими коефіцієнтами: знайти розв’язок рівняння
,
що задовольняє початкові умови
.
Загальна схема розв’язування задачі Коші для лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом:
1) від диференціального рівняння і початкових умов прямим перетворенням Лапласа переходимо до рівняння в зображеннях, яке називається операторним рівнянням;
2) розв’язуємо отримане алгебраїчне рівняння, тобто знаходимо зображення шуканого розв’язку;
3) переходимо від зображення розв’язку до шуканого розв’язку в просторі оригіналів.
Приклад 1. Знайти розв’язок задачі Коші , .
Розв’язання. Нехай . Тоді
, , .
Операторне рівняння має вигляд , звідки
.
Оскільки , то розв’язок задачі Коші .
Припустимо, що потрібно знайти розв’язок рівняння
,
що задовольняє початкові умови
.
Якщо відомо розв’язок відповідного рівняння при з тими ж початковими умовами, то
Справді, при переході до операторних рівнянь матимемо
,
.
Поділивши ці рівності отримаємо, що , тобто . Залишилось скористатися формулою Дюамеля і врахувати, що .
Приклад 2. Знайти розв’язок задачі Коші ,
Розв’язання. Розглянемо рівняння . Відповідне операторне рівняння має вигляд
. Тоді , а отже,
Тоді