- •Розділ 1 твірні функції
- •1.1. Формальні степеневі ряди і твірні функції.
- •Дії над формальними степеневими рядами. Елементарні твірні функції
- •1.1.1. Твірні функції і дії над ними
- •1.1.2. Елементарні твірні функції
- •1 І довільне комплексне число.
- •1.1.3. Диференціювання та інтегрування твірних функцій
- •1.2. Твірні функції для відомих послідовностей
- •1.2.1. Геометрична прогресія
- •1.2.2. Послідовність Фібоначчі.
- •1.2.3. Рекурентні співвідношення і раціональні твірні функції
- •1.2.4. Добуток Адамара раціональних твірних функцій.
- •Розділ 2. Характеристичні функції
- •2.1. Однозначність відповідності
- •2.2. Властивостi характеристичної функцiї
- •2.3. Інші інтегральні перетворення
- •2.4. Генератриси випадкових величин
- •2.5. Формула обертання для характеристичної функцiї
- •2.6. Теорема Левi
- •2.7. Сумiсна характеристична функцiя та слабка збiжнiсть векторiв
- •2.8. Класична центральна гранична теорема
- •Розділ 3
- •3.1. Мета і зміст бжд
- •3.2. Організація навчально-виховного процесу
- •Висновок
1.1.3. Диференціювання та інтегрування твірних функцій
Означення 1.1.7. Нехай - твірна функція. Похідною цієї функції називається функція
Інтегралом називається функція
Операція диференціювання обернена до операції інтегрування:
Операція ж інтегрування похідної призводить до функції з нульовим вільним членом, і тому відмінна від вихідної функції.
Зауваження.
Легко бачити, що для функцій, представлених у вигляді степеневих рядів, формула для похідної відповідає звичайній. Формула для інтеграла відповідає значенню інтеграла із змінною верхньою межею.
Останнє зауваження дозволяє обчислити (тобто виразити в термінах елементарних) твірних функцій для великого числа різних послідовностей. Обчислимо, наприклад, твірну функцію
Помноживши функцію f на s2 і диференціюючи, отримаємо
звідки
1.2. Твірні функції для відомих послідовностей
1.2.1. Геометрична прогресія
Найпростіша послідовність – це постійна послідовність 1,1,1,….. Твірна функція для неї має вигляд
( 1.2.1)
і її неважко виразити через елементарні твірні функції. Дійсно, помноживши обидві частини рівності (1.2.1) на , отримаємо
звідки (1.2.2)
Те саме виведення із незначними змінами проходить для довільної послідовності виду
звідки
і
(1.2.3)
Наведений вище виклад представляє собою, як ніщо інше, як відоме виведення формули для суми геометричної прогресії. Результат цього викладу уточнюється, як неважко бачити, із означенням твірної функції .
1.2.2. Послідовність Фібоначчі.
Відома послідовність Фібоначчі означається своїми початковими членами і відношенням
(1.2.4)
Із цього співвідношення легко отримати початок послідовності Фібоначчі
1,1,2,3,5,8,13,21,34…
в якій кожний член, починаючи з , дорівнює сумі двох попередніх. Щоб вивести формулу твірної функції
(1.2.5)
помножимо обидві частини рівності (6) на . Отримаємо
=, або ,
звідки
. (1.2.6)
Отриману формулу можна розуміти як композицію двох твірних функцій - і , тобто
+2 +3+…
Такий розклад, звичайно, не дуже зручний, бо в його членах перемішані різні степені змінних і він не дає звичайної формули для коефіцієнтів. Краще представити дріб у вигляді суми елементарних дробів:
,
де , – корені рівняння . Із останнього розкладу отримуємо
.
Тому
(1.2.7)
Тут ми користувались тим, що
Другий спосіб виведення твірної функції для чисел Фібоначчі використовує елементарні поняття лінійної алгебри. Розглянемо пару послідовних чисел Фібоначчі як координати вектора в двохвимірному просторі :
Тоді співвідношення (2.4) можна інтегрувати як правило переходу від вектора до вектора :
Ф:.
Останнє перетворення лінійне, і його можна записати у матричній формі:
Ф: Ф.
Перехід від вектора до вектора виконується шляхом повторного перетворення Ф, і т.д. таким чином. Твірна функція для векторної послідовності Фібоначчі приймає вигляд
=
Тут через І позначена одинична матриця , і ми використали до векторної твірної функції виведення твірної функції для геометричної прогресії. Єдина відмінність в результаті: вираз як обернена матриця до матриці
Явне вираження для чисел Фібоначчі можна отримати, обчисливши матрицю для довільного. Для цього матрицю Ф треба діагоналізувати, представивши її у вигляді
Ф=
де – діагональна матриця, а матриця орректноик. Маємо,
.
і вирази для чисел отримаємо рівність (1.2.8).