2.7. Сумiсна характеристична функцiя та слабка збiжнiсть векторiв

Означення 2.7.1. Сумiсною характеристичною функцiєю випадкового вектора називається така функцiя векторного аргументу :

Сумiсна характеристична функцiя має такi ж властивостi, що i звичайна характеристична функцiя. Зокрема, вiдповiднiсть мiж сумiсними функцiями розподiлу та сумiсними характеристичними функцiями є взаємно однозначною.

Означення 2.7.2. Випадковi d-вимiрнi вектори слабко збiгаються:, якщо для всiх

Теорема (теорема Левi про критерiй слабкої збiжностi випадкових векторiв). Послiдовнiсть d-вимiрних випадкових векторiв слабко збiгається: , тодi й тiльки тодi, коли поточково збiгаються вiдповiднi сумiснi характеристичнi функцiї: до границi '(t); що неперервна в нулi.

Доведення повнiстю аналогiчне доведенню для скалярного випадку.

Звiдси випливає таке твердження.

Теорема 2.7.3 (про критерiй слабкої збiжностi випадкових векторiв). Послiдовнiсть d-вимiрних випадкових векторiв слабко збігається , тодi й тiльки тодi, коли для довiльного слабко

збiгається лiнiйна форма

Доведення.

Нехай – сумiснi характеристичнi функцiї векторiв За теоремою Левi про критерiй слабкої збiжностi при кожному збiжнiсть еквiвалентна збiжностi характеристичних функцiй для всiх . Остання лише формою запису вiдрiзняється вiд збiжностi . Нарештi, за теоремою Левi про критерiй слабкої збiжностi випадкових векторiв тодi й тiльки тодi, коли , оскiльки множина .

2.8. Класична центральна гранична теорема

У центральнiй граничнiй теоремi доводиться, що центрована та нормована сума незалежних величин слабко збiгається до нормальної величини для практично довiльних розподiлiв окремих доданкiв. Цей клас теорем є пiдставою для широкого застосування нормального розподiлу в статистицi.

Теорема 2.8.1 (класична центральна гранична теорема).

Нехай послiдовнiсть незалежних у сукупностi однаково розподiлених випадкових величин зi скiнченними середнiми та дисперсiями:

.

Тодi

Наслiдок. Оскiльки збiжнiсть в основному випливає зi слабкої збiжностi, а нормальна функцiя розподiлу неперервна, то для всiх має мiсце збiжнiсть функцiй розподiлу

Зокрема, звiдси при довiльному розподiлi окремих доданкiв за правилом трьох сигма для досить великих n випливає наближена рiвнiсть

Доведення. Рiвностi є очевидними наслiдками незалежностi та однакової розподiленостi доданкiв, за лiнiйнiстю математичного сподiвання та за теоремою про дисперсiю суми незалежних величин.

Нехай – характеристична функцiя Тодi за теоремою про властивостi характеристичної функцiї, пункти (а) та (б):

Використаємо розклад у ряд Тейлора логарифмiчної функцiї та твердження (г) теореми про властивостi характеристичної функцiї:

Звiдси

Отже, Застосування теореми Левi про критерiй слабкої збiжностi довершує доведення. [3]