- •Розділ 1 твірні функції
- •1.1. Формальні степеневі ряди і твірні функції.
- •Дії над формальними степеневими рядами. Елементарні твірні функції
- •1.1.1. Твірні функції і дії над ними
- •1.1.2. Елементарні твірні функції
- •1 І довільне комплексне число.
- •1.1.3. Диференціювання та інтегрування твірних функцій
- •1.2. Твірні функції для відомих послідовностей
- •1.2.1. Геометрична прогресія
- •1.2.2. Послідовність Фібоначчі.
- •1.2.3. Рекурентні співвідношення і раціональні твірні функції
- •1.2.4. Добуток Адамара раціональних твірних функцій.
- •Розділ 2. Характеристичні функції
- •2.1. Однозначність відповідності
- •2.2. Властивостi характеристичної функцiї
- •2.3. Інші інтегральні перетворення
- •2.4. Генератриси випадкових величин
- •2.5. Формула обертання для характеристичної функцiї
- •2.6. Теорема Левi
- •2.7. Сумiсна характеристична функцiя та слабка збiжнiсть векторiв
- •2.8. Класична центральна гранична теорема
- •Розділ 3
- •3.1. Мета і зміст бжд
- •3.2. Організація навчально-виховного процесу
- •Висновок
2.6. Теорема Левi
Теорема 2.6.1 (теорема Левi про критерiй слабкої збiжностi).
Нехай послiдовнiсть функцiй розподiлу з характеристичними функцiями .
Для того, щоб мала мiсце слабка збiжнiсть , до деякої функцiї розподiлу F, необхiдно i достатньо, щоб характеристичнi функцiї ' збiгались при кожному до функцiї , яка неперервна в нулi. У цьому випадку є характеристичною функцією для функцiї розподiлу F.
Доведення.
а) необхiднiсть випливає з означення слабкої збiжностi, тому що гармонiки є неперервними обмеженими функцiями при кожному .
б) достатнiсть. Нехай , де функція неперервна в нулi.
Доведемо спочатку, що послiдовнiсть є слабко компактною.
Нехай Враховуючи означення характеристичної функцiї, абсолютну збiжнiсть кратного iнтегралу та теорему Фубiнi про кратний та повторнi iнтеграли, обчислимо
Справедливiсть цих нерiвностей випливає, по-перше, з невiд’ємностi
оскiльки , а по-друге, з оцiнки
З отриманої нерiвностi та з теореми Лебега про мажоровану збiжнiсть
знаходимо
оскiльки функцiя неперервна в нулi та
Отже, виконана умова теореми про критерiй слабкої компактностi по-
слiдовностi функцiй розподiлу, i послiдовнiсть є слабко компактною.
За означенням слабкої компактностi знайдемо пiдпослiдовнiсть
та функцiю розподiлу F такi, що Нехай – характеристична функцiя F. Тодi внаслiдок вже доведенного твердження необхiдностi Отже, є
характеристичною функцiєю функцiї розподiлу F.
Доведемо, що Припустимо, що ця збiжнiсть не має мiсця. Тодi за означенням слабкої збiжностi знайдуться функцiя та нескiнченна пiдпослiдовнiсть такi, що
Оскiльки є пiдпослiдовнiстю слабко компактної множини, то знайдеться слабко збіжна пiдпiдпослiдовнiсть
де G – деяка функцiя розподiлу. Оскiльки , тo . Отже, G = F за теоремою про однозначнiсть вiдповiдностi мiж функцiями розподiлу та характеристичними функцiями. Але в цьому випадку
що суперечить нерiвностi, яка отримана вище: вiдстань мiж правою та лiвою частинами повинна улла б бути не меншою за .
Отже, вiд супротивного .
Теорема 2.6.2 (про рiвномiрну збiжнiсть характеристичних функцiй). Нехай та – характеристичнi функцiї i при всiх t. Тодi функцiї є неперервними за t рiвномiрно по t i n, а збiжнiсть є рiвномiрною за t на кожному обмеженому iнтервалi.
Доведення.
Нехай – функцiя розподiлу, що вiдповiдає . За теоремою Левi про критерiй слабкої збiжностi послiдовнiсть слабко збiгається, а тому є слабко компактною. Отже, за теоремою Прохорова про критерiй слабкої компактностi . Звiдси
тобто функцiї є рiвномiрно за n i t неперервними.
Якщо вказана в теоремi збiжнiсть не є рiвномiрною на iнтервалi [-T; T],
то знайдуться i такi, що для всiх
n. Переходячи до пiдпослiдовностi, можемо вважати, що . Отже,
де враховано рiвномiрну неперервнiсть , що доведена вище. Отримана
суперечнiсть свiдчить про справедливiсть шуканого твердження.
Теорема 2.6.3 (про добуток слабко збiжної послiдовностi зi збiжною). Нехай послiдовнiсть випадкових величин така, що , а числова послiдовнiсть . Тодi
Доведення. Позначимо – характеристичну функцiю
Зi збiжностi та з теореми про рiвномiрну збiжнiсть характеристичних функцiй виводимо, що вказана збiжнiсть є рiвномiрною за t на обмеженому iнтервалi. Оскiльки послiдовнiсть є обмеженою, то внаслiдок рiвномiрностi збiжностi для кожного t, що за теоремою Левi про критерiй слабкої збiжностi доводить шукане твердження.