Розділ 2. Характеристичні функції

Перетворення Фур’є широко застосовуються в математичнiй фiзицi, теорiї диференцiальних рiвнянь та iнших роздiлах математики. У теорiї ймовiрностей це поняття вiдоме як характеристична функцiя.

Означення 2.1.1. Нехай ξ– випадкова величина, а F – її функцiя розподiлу. Характеристичною функцiєю величини ξ та функцiї розподiлу F називається така комплекснозначна функцiя дiйсної змiнної :

Рiвнiсть посерединi випливає з теореми про обчислення математичного сподiвання функцiї вiд випадкової величини.

В останньому означеннi та надалi математичне сподiвання (iнтеграл Лебега за мiрою P) вiд комплекснозначних величин визначається за лiнiйнiстю :

[3]

Приклад 2.1.2. Знайдемо характеристичну функцію випадкової величини , розподіленою за біноміальним законом. Оскільки - дискретна випадкова величина, що приймає значення то

Приклад 2.1.3. Характеристична функція випадкової величини , яка розподілена за експоненціальним законом, має вигляд

Приклад 2.1.4. Нехай випадкова величина розподілена за стандартним нормальним законом. Тоді

Зробивши заміну , одержимо

Із теорії комплексної змінної відомо, що

Тому остаточно отримаємо

[4]

2.1. Однозначність відповідності

Теорема (про однозначну вiдповiднiсть мiж функцiями розподiлу та характеристичними функцiями). Вiдповiднiсть мiж функцiями розподiлу та характеристичними функцiями є взаємно однозначною.

Доведення теореми.

Припустимо, що функцiї розподiлу F, G мають однаковi характеристичнi функцiї: при всiх : Позначимо орре функцiй

За припущенням, кожна гармонiка при . Клас є лiнiйним, тому вiн мiстить всi тригонометричнi полiноми Крiм того, за теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть орре замкнений вiдносно обмеженої поточкової збiжностi.

Застосовуючи теорему Стоуна – Вейєрштраса про наближення неперервної обмеженої функцiї полiномами, доведемо, що орре мiстить усi фiнiтнi неперервнi функцiї. Дiйсно, нехай та Оберемо тригонометричний полiном такий, що при що має перiод 2c. Пiсля перiодичного продовження його нa отримуємо функцiю За рахунок вибору c рiзницю

можна зробити як завгодно малою. Тому .

Оскiльки кожна неперервна обмежена функцiя є обмеженою поточко-

вою границею фiнiтних неперервних обмежених функцiй, то .

Звiдси та з теореми про однозначнiсть слабкої границi, пункт (а), виво-

димо, що F = G.

2.2. Властивостi характеристичної функцiї

Теорема 2.2.1 (про основнi властивостi характеристичної функцiї).

Нехай φ– характеристична функцiя. Тодi виконуються такi властивостi:

(а –нормованiсть)

(б –антисиметрiя) ,

(в –неперервнiсть) неперервна в нулi та рiвномiрно неперервна,

(г –невiд’ємна визначенiсть) для довiльних дiйсних та комплексних справедлива нерiвнiсть

Зауваження. Теорема Бохнера-Хiнчина стверджує, що будь-яка комплекснозначна функцiя дiйсної змiнної, що задовольняє умови (а) – (г), є характеристичною для певної функцiї розподiлу.

Доведення теореми.

а) з умови нормованості функції розподілу,

б)

в)

за теоремою Лебега про мажорантну збіжність, оскільки

.

г) Сума з умови дорiвнює

Теорема 2.2.2 (про властивостi характеристичної функцiї).

а)

б) Якщо незалежнi, то

в) Якщо iнтегровна, то

г) Якщо квадратично iнтегровна, то

д) За умови iнтегровностi або квадратичної iнтегровностi вiдповiдно

е) Якщо нормальна випадкова величина, то

ж) Якщо має розподiл Пуассона з параметром ¸ то

Доведення.

а) за мультиплiкативнiстю експоненти та однорiднiстю математичного сподiвання

б) За теоремою про перетворення незалежних величин випадковi величини i також незалежнi. Тому

внаслiдок теореми про математичне сподiвання добутку незалежних величин.

в) з елементарної нерiвностi випливає, що до iнтегралу

можна застосувати теорему Лебега про мажоровану збiжнiсть при , тому що Оскiльки пiдiнтегральна функцiя в правiй частинi поточково прямує до нуля, то права частина прямує до

нуля при звiдки дiстанемо шукане спiввiдношення.

г) аналогiчно застосовуємо нерiвнiсть

до iнтегралу

д) випливає з формули розкладу в ряд Тейлора в околi нуля диференцiйовної функцiї та тверджень (в) чи (г).

е) якщо стандартна нормальна величина, то

У загальному випадку досить застосувати а) до означення .

ж) за формулою про обчислення математичного сподiвання функцiї вiд дискретної величини [3]

[3]

Приклад 2.2.3. Як відомо, якщо випадкова величина розподілена за стандартним нормальним законом, то випадкова величина розподілена за нормальним законом із параметрами і . Тоді характеристична функція і випадкових величин , що пов’язані за властивістю 1 відношенням

[4]