2.3. Інші інтегральні перетворення

Одночасно з характеристичними функціями у теорії ймовірностей використовують інші види перетворень.

Означення 2.3.1. Твірною функцією моментів випадкової величини називається така функція змінної

у припущенні, що величина під знаком сподівання інтегрована для всіх з деякого околу нуля.

Твірна функція моментів розкладається у ряд Тейлора

Логарифмічне перетворення називається твірною функцією кумулят. Коефіцієнти розкладу у ряд Тейлора

називаються кумулянтами (семіінваріантами) величини .

Означення 2.3.2 Перетворенням Лапласа випадкової величини називається така функція дійсної змінної

Очевидно, що для невід'ємних величин перетворення Лапласа визначено орректно та є аналітичною функцією

Зауважимо, що твердження теореми про основні властивості характеристичних функцій, як і інші властивості характеристичних функцій, з необхідними модифікаціями виконуються як для всіх функцій твірних моментів, так і для перетворень Лапласа.

2.4. Генератриси випадкових величин

Для цілочисельних величин використовують метод генератрис, які є дискретними аналогами характеристичних функцій.

Означення 2.4.1. Нехай – невід'ємна цілозначна випадкова величина з розподілом Генератрисою випадкової величини називається генератриса послідовності :

Остання формула є наслідком теореми про обчислення математичного сподівання функції від дискретної величини.

Теорема 2.4.2 (про властивості генератрис).

а) ряд абсолютно збігається при та однозначно визнає розподіл .

б)

в) при .

г)

д) якщо величини

е) ) якщо величини та – незалежні в сукупності, а величина є сумою випадкового числа випадкових доданків вигляду

то її генератриса є суперпозицією генератрис

Доведення.

а) випливає зі збіжності ряду , однозначність є наслідком формули обертання

Остання виводиться з ортогональності гармонік у просторі інтегрованих за квадратом функцій :

б) і в) очевидні.

г) при похідну можна внести під знак суми ряду, оскільки ряд із похідних збігається абсолютно

Спрямовуючи тут , за теоремою Лебега про монотонну збіжність дістанемо рівність г).

д) випливає з теореми про перетворення незалежних величин , та теореми про математичне сподівання добутку незалежних величин.

е) за означенням

,

де використано незалежність суми і події та попередній пункт, внаслідок якого генератиса суми незалежних у сукупності, однаково розподілених величин дорівнює відповідній степені генератриси доданку.

Зауваження. Твердження е) залишається справедливим для дійснозначних величин якщо тільки орректно визначено перетворення , зокрема для дійсних та при . Дійсно, характеристична функція суми незалежних величин також дорівнює добуткові характеристичних функцій доданків.

2.5. Формула обертання для характеристичної функцiї

Теорема 2.5.1 (про формулу обертання для характеристичної функцiї).

Нехай функцiя розподiлу F має характеристичну функцiю

а) для всiх , що є точками неперервностi F справедлива тотожнiсть

б) якщо функцiя F абсолютно iнтегровна на , то функцiя розподiлу F має щiльнiсть f, що дорiвнює

Зауваження. Абсолютна збiжнiсть кратного iнтегралу в (а) при обумовлена обмеженiстю характеристичної функцiї. Така збiжнiсть при = 0 може порушуватись.

Доведення.

а) нехай випадкова величина має функцiю розподiлу F, а величина не залежить вiд Обчислимо за теоремою Фубiнi при

Нехай величина не залежить вiд . Тодi за теоремою про властивостi характеристичної функцiї, (е), щiльностi та характеристичнi

функцiї величин та пов’язанi рiвняннями

,

Помножимо попереднє спiввiдношення на з використанням парностi функцiї прийдемо при всiх до тотожностi

За теоремою про функцiю розподiлу суми незалежних величин лiва частина збiгається зi щiльнiстю суми незалежних величин Тому

Оскiльки , i за нерiвнiстю Чебишева для дисперсiй при , то . Тому за теоремою про спiввiдношення слабкої збiжностi та збiжностi за ймовiрнiстю , а за теоремою про еквiвалентнiсть слабкої збiжностi та в основному. Згiдно з означенням збiжностi в основному

для всiх точок неперервностi функцiї розподiлу F.

б) за умови iнтегровностi знак границi у формулi (а) за теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть можна внести пiд знак кратного iнтегралу, оскiльки пiдiнтегральний вираз не перевищує за модулем функцiї , яка iнтегровна на за аргументами x, t. Пiсля такого переходу отримуємо

де функцiя f визначена у формулюваннi (б). Спрямовуючи тут , за означенням щiльностi розподiлу робимо висновок, що функцiя розподiлу F має щiльнiсть f .[3]

Приклад 2.5.2. Нехай і – незалежні випадкові величини, розподілені по нормальному закону з параметрами і відповідно. Розглянемо випадкову величину + . Тоді, як було показано в прикладі 2.2.3, , і за властивістю б) характеристичних функцій отримаємо, шо . Але характеристичну функцію смає випадкова величина, розподілена за нормальним законом з параметрами . Тому завдяки взаємно однозначній відповідності між функцією розподілу і характеристичною функцією випадкова величина також розподілена нормально ( з параметрами ).

Приклад 2.5.3. Розглянемо незалежні випадкові величини і , розподілених по закону Пуассона з параметрами . Їх характеристичні функції задаються формулами

Нехай + . Тоді і знову - таки завдяки взаємно однозначній відповідності між функцією розподілу і характеристичною функцією випадкова величина розподілена по закону Пуассона з параметром [4].