- •Свойства прообразов и образов
- •Обратная функция.
- •Примеры
- •Эквивалентные определения
- •Примеры
- •Примеры
- •Суперпозиция функций (сложная функция).
- •Определение
- •Свойства композиции
- •Дополнительные свойства
- •Счетные и несчетные множества.
- •Свойства отношения равномощности.
- •Свойство полноты множества вещественных чисел.
- •Плотность множества рациональных чисел в r.
- •Свойства точных границ.
- •Последовательности.
- •Числа x1,x2,…,xn – члены последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках. (Принцип Коши-Кантора)
- •Предел последовательности.
- •Свойства пределов числовых последовательностей.
- •Предел и алгебраические операции.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Бесконечно малые последовательности (величины).
- •Основные свойства б.М. Последовательностей.
- •Бесконечно большие последовательности (величины).
- •Расширение понятие предела.
- •Основные свойства бесконечно больших последовательностей.
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
- •Арифметические свойства предела. (Бесконечно большие последовательности и арифметические операции)
- •Вопросы существования пределов.
- •Свойства фундаментальной последовательности.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Предел подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •Вычисление пределов некоторых последовательностей.
Монотонные последовательности.
Определение. Последовательность {xn} называется возрастающей (неубывающей), если n=1,2,… xnxn+1
Если n=1,2,… xn<xn+1, то {xn} – строго возрастающая.
Если n=1,2,… xnxn+1, то {xn} – убывающая (невозрастающая).
Если n=1,2,… xn>xn+1, то {xn} – строго убывающая.
Последовательности всех рассмотренных типов называются монотонными.
Примеры. 1) 1,1,0,0,…- убывающая.
2) : 1, , ,… - строго убывающая.
Теорема 1. 1) Если последовательность {xn} неубывающая (в частности строго возрастающая) и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.
2) Если последовательность {xn} неубывающая (в частности строго возрастающая) и сверху не ограничена, то .
Доказательство.1) Пусть последовательность {xn} возрастающая, т.е. n=1,2,… xnxn+1
Т.к. числовое множество {xn} ограничено сверху, то С: n=1,2,… xnС
Пусть а= - точная верхняя граница – т.к. всякое ограниченная сверху последовательность имеет точную верхнюю границу. (Покажем, что =а.)
Тогда n=1,2,… xnа (1)
Возьмем сколь угодно малое >0 и рассмотрим число а-. Т.к. а-<a, то по свойству супремума на множестве {xn} найдется такой элемент , что будет >a-.
Т.к. последовательность неубывающая, то nN xn (2)
Следовательно, при nN будет xn>>a- (3)
При nN будут выполняться неравенства (1) и (3), т.е.
а-<xna, а значит и а-<xna+, т.е. . А это значит, что =а. 2) По условию числовое множество {xn} не ограничено сверху.
Это означает, что какое бы большое число М>0 мы ни взяли, на множестве {xn}обязательно найдется хотя бы одни элемент такой, что >M.
Т.к. последовательность {xn}неубывающая, то при n>N xn , а, следовательно, при n>N будет xn>M. А это означает, что . Ч.т.д.
Теорема 2. 1) Если последовательность {xn} невозрастающая (в частности строго убывающая) и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.
2) Если последовательность {xn} невозрастающая (в частности строго убывающая) и снизу не ограничена, то .
(Доказательство – аналогично доказательству теоремы 1).
Доказательство.1) Пусть последовательность {xn} невозрастающая, т.е. n=1,2,… xnxn+1
Т.к. числовое множество {xn} ограничено снизу, то существует точная нижняя граница этого множества.
Пусть b= - точная нижняя граница. Тогда n=1,2,… xnb (4)
Возьмем сколь угодно малое >0 и рассмотрим число b+. Т.к. b+>b, то по свойству инфимума на множестве {xn} найдется такой элемент , что будет <b+.
Т.к. последовательность невозрастающая, то nN xn
Следовательно, при nN будет xn<b+ (5)
При nN будут выполняться неравенства (4) и (5), т.е.
bxn<b+, а значит и b-<xn<b+, т.е. . А это значит, что =b.
2) По условию числовое множество {xn} не ограничено снизу.
Это означает, что какое бы большое число М>0 мы ни взяли, на множестве {xn}обязательно найдется хотя бы одни элемент такой, что <-M.
Т.к. последовательность {xn}невозрастающая, то при n>N xn, а, следовательно, при n>N будет xn<-M. А это означает, что . Ч.т.д.
Замечание. Все утверждения теорем 1 и 2 остаются в силе и для последовательности, которая становится монотонной лишь начиная с некоторого номера, т.е. при nN*, N*N (т.к. без влияния на предел последовательности – любое число первых ее значений можно отбросить).
Пример. Найти (a>0).
Если 0<a<1, an – б.м. величина. Поэтому =0. При а=1 ==0.
Пусть a>1. В этом случае отношение представляет собой неопределенность . Обозначим =xn. Имеем:
xn+1===xn.
Как только n+1>a (т.е. n>a-1), так последовательность xn становится строго убывающей. Последовательность xn ограниченна снизу (например, числом 0). Следовательно, по теореме 2 последовательность xn имеет конечный предел. Обозначим его через с.
Для того, чтобы найти его, перейдем к пределу в равенстве
xn+1=xn
Т.к. xn+1 пробегает ту же последовательность значений, что и xn (с точностью до первого члена), то xn+1 имеет тот же предел с. Будем иметь:
=с=с0с=0.
Т.о., при a>1 =0.