- •Свойства прообразов и образов
- •Обратная функция.
- •Примеры
- •Эквивалентные определения
- •Примеры
- •Примеры
- •Суперпозиция функций (сложная функция).
- •Определение
- •Свойства композиции
- •Дополнительные свойства
- •Счетные и несчетные множества.
- •Свойства отношения равномощности.
- •Свойство полноты множества вещественных чисел.
- •Плотность множества рациональных чисел в r.
- •Свойства точных границ.
- •Последовательности.
- •Числа x1,x2,…,xn – члены последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках. (Принцип Коши-Кантора)
- •Предел последовательности.
- •Свойства пределов числовых последовательностей.
- •Предел и алгебраические операции.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Бесконечно малые последовательности (величины).
- •Основные свойства б.М. Последовательностей.
- •Бесконечно большие последовательности (величины).
- •Расширение понятие предела.
- •Основные свойства бесконечно больших последовательностей.
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
- •Арифметические свойства предела. (Бесконечно большие последовательности и арифметические операции)
- •Вопросы существования пределов.
- •Свойства фундаментальной последовательности.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Предел подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •Вычисление пределов некоторых последовательностей.
Основные свойства б.М. Последовательностей.
Свойство 1. Алгебраическая сумма конечного числа б.м. последовательностей есть б.м. последовательность.
Доказательство. (Докажем для суммы 3-х б.м. величин. В др. случаях доказательство аналогично).
Пусть n,n,n – б.м. последовательности при n→. Докажем, что (n+n+n) – также б.м. последовательность.
Возьмем произвольное сколь угодно малое число >0.
По условию n – б.м. последовательность. Следовательно, по числу можно указать номер N1 такой, что все значения n, у которых номер n>N1, удовлетворяют неравенству .
Так как n и n – б.м. последовательности, то по тому же числу можно указать номера N2 и N3 такие, что при n>N2 и при n>N3.
Положим N=max{N1,N2,N3}. Тогда при n>N будут выполняться все 3 неравенства. Тогда , т.е. (n+n+n) – б.м. ч.т.д.
Свойство 2. Произведение ограниченной последовательности хn на бесконечно малую последовательность n - есть б.м. последовательность.
Доказательство. По условию хn – ограниченная, т.е.
Возьмем >0 – сколь угодно малое. Т.к. n - б.м., то .
Т.к. ,то при n>N будет , т.е. хn n -б.м. ч.т.д.
Лемма. Если все члены последовательности {xn} отличны от 0 и если xn→а, n→, где а≠0, то - ограниченная последовательность.
Доказательство. Т.к. а≠0, то
Положим =. Т.к. =а, то взятому отвечает номер
Имеем
Тогда при n>N будет , а значит
Положим С=
Тогда при всех nN , т.е. - ограниченная последовательность. Ч.т.д.
Свойство 3. Пусть n - есть б.м. последовательность при n→. Пусть все члены последовательности {xn} отличны от 0 и xn→a, n→, где a≠0. Тогда - б.м. последовательность.
Доказательство. По лемме последовательность - ограниченная.
Имеем =n, т.е. - представляет собой произведение ограниченной последовательности на б.м. Тогда по свойству 2 - - б.м. ч.т.д.
Бесконечно большие последовательности (величины).
Определение. Последовательность {хn}, пробегающая последовательность значений х1,х2,….,хn,.., называется бесконечно большой последовательностью, если для любого положительного числа М (каким бы большим мы его ни взяли) можно указать номер N такой, что все значения xn, у которых номер n>N, удовлетворяют неравенству
(1)
Тот факт, что {хn} бесконечно-большая (б.б.) последовательность при n→, выражают также словами «последовательность {хn} стремиться к »:
(2)
Из неравенства (1) следует, что вместе с хn бесконечно большими будут также последовательности -хn и хn.
Расширение понятие предела.
- и + - несобственные числа.
Определение 1. xn→+ при n→, если
(последовательность неограниченна сверху).
Определение 2. xn→- при n→, если
(последовательность неограниченна снизу).
Пример 1. Пусть {xn}={n}={1,2,…,n,…}. Какое бы число M>0 мы ни взяли, переменная xn при возрастании n «перерастет» М, т.е. для всех n, начиная с некоторого, будет . Следовательно, переменная xn=n – б.б. при n→ и.
Пример 2. Пусть {xn}={-n}={-1,-2,…,-n,…}. Какое бы число M>0 мы ни взяли,. для всех n, начиная с некоторого, будет . Следовательно, переменная xn= -n – б.б. при n→ и .
Пример 3. Пусть {xn}={(-1)nn}={-1,2,-3,…}. Имеем . Следовательно, какое бы число M>0 мы ни взяли, для всех n, начиная с некоторого, будет . Следовательно, переменная xn=(-1)nn – б.б. при n→ и .
Пример 4. Покажем, что если q>1, то qn – бесконечно большая при n→.
Возьмем любое сколь угодно большое число М>0 и рассмотрим неравенство qn>M (*)
Имеем qn>M qn>M (т.к. q>1, то )
Если теперь в качестве N взять N=, тогда при n>N окажется, чтоqn>М.
А это означает, что хn=qn – бесконечно большая при q>1.