Предельный переход в неравенствах.

Лемма. Даны сходящиеся последовательности {x_n}и {у_n} и =а, =b. Если a>b, то (т.е. конечное число членов последовательности на сходимость не влияют).

Доказательство. Возьмем число >0, т.к. a>b.

По условию =a, значит, взятому >0 отвечает номер N₁ такой, что , т.е. a-<x_n<a+

В частности, x_n>a-=. Т.о. x_n>, если

По условию =b, значит, взятому >0 отвечает номер N₂ такой, что , т.е. b-<y_n<b+

В частности, y_n<b+=

Т.о. y_n<, если

Положим N=max(N₁,N₂), тогда будут выполняться оба неравенства:

x_n> и y_n<. Следовательно, при . Ч.т.д.

Теорема 1 (о единственности предела). Сходящаяся последовательность не может иметь более 1 предела.

Доказательство 1. Допустим противное: x_n→a и x_n→b a≠b

Пусть, например a<b. Тогда по лемме найдется номер N такой, что при n>N будет: x_n<x_n – чего быть не может. Ч.т.д.

Доказательство 2. Рассмотрим окрестности точек a и b такие, что V(a)V(b)=.

Т.к. x_n→a, то

Т.к. x_n→b, то

Тогда N=max(N₁,N₂): чего быть не может, т.к. V(a)V(b)=

Следовательно a=b. Ч.т.д.

Теорема 2 (о предельном переходе в неравенствах). Если =а, =b и начиная с некоторого номера N выполнено одно из условий:

x_ny_n или x_n<y_n для всех nN, тогда ab.

Доказательство. Допустим противное, т.е. a>b, тогда по лемме найдется такой номер (можно считать, что >N) такой, что x_n>y_n. Получили противоречие. Следовательно, теорема доказана. Ч.т.д.

Таким образом, в неравенствах можно осуществлять предельный переход.

Пример. x_n= -, y_n=. x_n<y_n – строгое неравенство.

Однако, x_n→0,n→, y_n→0,n→ (=(-1)=0), т.е. =-нестрогое нер-во.

Следствие. Если {x_n} – сходящаяся последовательность и начиная с некоторого номера N выполняется одно из неравенств 1) x_n<c или 2) x_nc , то .

(Аналогично, если 1) x_n>c или 2) x_nc , то ).

Доказательство. Следует из теоремы 2 при {у_n} – постоянная последовательность, у_n=с.

Теорема 3 (о пределе промежуточной последовательности, принцип «двух милиционеров (полицейских)»).

Пусть даны три числовые последовательности {x_n}, {у_n}, {z_n} и пусть начиная с некоторого номера N, т.е. x_ny_nz_n, тогда, если последовательности {x_n} и {z_n} стремятся к одному и тому же конечному пределу а, то и {у_n} стремится к этому же пределу.

Доказательство. Возьмем >0 – любое сколь угодно малое – и рассмотрим - окрестность точки а.

Т.к. x_n→а, n→, значит взятому >0 отвечает номер N₁ такой, что , т.е. a-<x_n<a+

В частности, x_n>a-.

По условию z_n→а, n→, значит, взятому >0 отвечает номер N₂ такой, что , т.е. а-<z_n<а+

В частности, z_n<a+

Положим =max(N,N₁,N₂), тогда будут выполняться оба неравенства, т.е

a-<x_ny_nz_n<a+

Следовательно, при a-<y_n<a+, т.е. а= Ч.т.д.

Бесконечно малые последовательности (величины).

Определение 1. Последовательность {_n}, пробегающая последовательность значений ₁,₂,….,_n,.., называется бесконечно малой последовательностью, если

=0.

Исходя из определения предела последовательности при а=0, можно дать другое определение бесконечно малой (б.м.) последовательности.

Определение 2. Последовательность {_n}, пробегающая последовательность значений ₁,₂,….,_n,.., называется бесконечно малой последовательностью, если для любого сколь угодно малого положительного числа >0 можно указать номер N, такой, что все значения _n, у которых номер n>N, по абсолютной величине будут меньше , т.е. , если n>N.

Пример. Покажем, что если q<1, то qⁿ – бесконечно малая.

Возьмем сколь угодно малое >0 и рассмотрим неравенство qⁿ< (*)

Если q=0, то неравенство (*) выполняется при всех n.

Предположим, что q≠0. Тогда неравенство (*) равносильно неравенству:qⁿ<.

Прологарифмируем последнее неравенство. Получим равносильное неравенство:

или неравенство (т.к. q<1, то )

Считая <1, положим N=, тогда при n>N окажется, чтоqⁿ<.

А это означает, что qⁿ – бесконечно малая при q<1.