- •Свойства прообразов и образов
- •Обратная функция.
- •Примеры
- •Эквивалентные определения
- •Примеры
- •Примеры
- •Суперпозиция функций (сложная функция).
- •Определение
- •Свойства композиции
- •Дополнительные свойства
- •Счетные и несчетные множества.
- •Свойства отношения равномощности.
- •Свойство полноты множества вещественных чисел.
- •Плотность множества рациональных чисел в r.
- •Свойства точных границ.
- •Последовательности.
- •Числа x1,x2,…,xn – члены последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках. (Принцип Коши-Кантора)
- •Предел последовательности.
- •Свойства пределов числовых последовательностей.
- •Предел и алгебраические операции.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Бесконечно малые последовательности (величины).
- •Основные свойства б.М. Последовательностей.
- •Бесконечно большие последовательности (величины).
- •Расширение понятие предела.
- •Основные свойства бесконечно больших последовательностей.
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
- •Арифметические свойства предела. (Бесконечно большие последовательности и арифметические операции)
- •Вопросы существования пределов.
- •Свойства фундаментальной последовательности.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Предел подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •Вычисление пределов некоторых последовательностей.
Вычисление пределов некоторых последовательностей.
Неравенство Бернулли. (1+x)n1+nx, x-1, nN.
Доказательство (метод мат. индукции).
Вычисление пределов некоторых последовательностей.
1) Найти (a>0).
Если 0<a<1, то an - бесконечно малая, а n! – бесконечно большая, т.е. =0 . При а=1 имеем =0 .
Пусть а>1. В этом случае отношение представляет неопределенность .
Обозначим =хn. Имеем
xn+1=== хn
Как только n+1>a (т.е. n>a-1) последовательность хn становится строго убывающей. Последовательность хn ограничена снизу (например, числом 0) Следовательно, по теореме 2, последовательность имеет предел. Обозначим этот предел через с.
Чтобы его найти, перейдем к пределу в равенстве xn+1= хn.
Т.к. хn+1 пробегает ту же последовательность значений, что и хn (с точностью до первого члена), то хn+1 имеет тот же предел с. Имеем:
=c=c0c=0.
Т.о. при a>1 =0.
2) Показать, что =1 a>0.
Возьмем произвольное число >0 и рассмотрим . Тогда
=а=а=а0=0 (т.к. (1+)-1<1, т.е. б.м.)