Суперпозиция функций (сложная функция).

Пусть есть 2 функции:

: A→B и g: D→F

Пусть область определения D функции g входит в область значений функции f (DB). Тогда можно определить новую функцию – суперпозицию (композицию, сложную функцию) функций f и g: z=g((x)).

Примеры. f(x)=x², g(x)=e^x. f:R→R, g:R→R.

(g(x))=e^2x, g((x))=.

Определение

Пусть и две функции. Тогда их композицией называется функция , определённая равенством:

.

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

.

• Если F = id_X — тождественное отображение на X, то есть

,

то

.

• Если G = id_Y — тождественное отображение на Y, то есть

,

то

.

• Рассмотрим пространство всех биекций множества X на себя и обозначим его . То есть если , то — биекция. Тогда композиция функций из является бинарной операцией, а — группой. id_X является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу является — обратная функция.

• Группа , вообще говоря, не коммутативна, то есть .

Дополнительные свойства

• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть — топологические пространства. Пусть и две функции, . Тогда .

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть . Тогда , и

.

Счетные и несчетные множества.

Два конечных множества состоят из равного числа элементов, если между этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Число элементов конечного множества – мощность множества.

Для бесконечного множества можно установить взаимно однозначное соответствие между всем множеством и его частью.

Самым простым из бесконечных множеств является множество N.

Определение. Множества А и В называются эквивалентными (АВ), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же числа элементов.

Если же эквивалентные между собой множества А и В произвольны , то говорят, что А и В имеют одинаковую мощность. (мощность = эквивалентность).

Для конечных множеств понятие мощности совпадает с понятием числа элементов множества.

Определение. Множество называется счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел. (Т.е. счетное множество – бесконечное, эквивалентное множеству N).

(Т.е. все элементы счетного множества можно занумеровать).

Свойства отношения равномощности.

1) АА- рефлексивность.

2) АВ, то ВА – симметричность.

3) АВ и ВС, то АС – транзитивность.

Примеры.

1) n→2n, 2,4,6,… - четные натуральные

2) n→2n-1, 1,3,5,…- нечетные натуральные.

Свойства счетных множеств.

1. Бесконечные подмножества счетного множества счетны.

Доказательство. Т.к. А – счетно, то А: х₁,х₂,… - отобразили А в N.

ВА, В: →1, →2,… - поставили каждому элементу В в соответствие натуральное число, т.е. отобразили В в N. Следовательно В – счетно. Ч.т.д.

2. Объединение конечной (счетной) системы счетных множеств – счетно.

Примеры.

1. Множество целых чисел Z – счетно, т.к. множество Z можно представить как объединение счетных множеств А и В, где А: 0,1,2,.. и В: -1,-2,-3,…

2. Множество упорядоченных пар {(m,n): m,nZ} (т.е. (1,3)≠(3,1)).

3 (!). Множество рациональных чисел – счетно.

Q=. Можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством несократимых дробей Q и множеством упорядоченных пар:

. Т.о. множество Q равномощно множеству {(p,q)}{(m,n)}.

Множество {(m,n)} – множество всех упорядоченных пар – счетно. Следовательно и множество {(p,q)} – счетно, а значит и Q – счетно.

Определение. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная десятичная непериодическая дробь, т.е. ₀,₁₂…

Множество всех десятичных дробей образуют множество вещественных (действительных) чисел.

Множество иррациональных чисел – несчетно.

Теорема 1. Множество вещественных чисел из промежутка (0,1) – несчетное множество.

Доказательство. Допустим противное, т.е. что все числа интервала (0,1) можно занумеровать. Тогда, записывая эти числа в виде бесконечных десятичных дробей, получим последовательность:

х₁=0,а₁₁а₁₂…a_1n…

x₂=0,a₂₁a₂₂…a_2n…

…………………..

x_n=0,a_n1a_n2…a_nn…

……………………

Рассмотрим теперь вещественное число х=0,b₁b₂…b_n…, где b₁- любая цифра, отличная от а₁₁, (0 и 9), b₂ - любая цифра, отличная от а₂₂, (0 и 9),…, b_n - любая цифра, отличная от a_nn, (0 и 9).

Т.о. х(0,1), но хx_i (i=1,…,n) т.к. в противном случае, b_i=a_ii. Пришли к противоречию. Ч.т.д.

Теорема 2. Любой промежуток вещественной оси является несчетным множеством.

Теорема 3. Множество действительных (вещественных) чисел – несчетно.

Про всякое множество, равномощное множеству вещественных чисел говорят, что оно мощности континуума (лат. continuum – непрерывное, сплошное).

Пример. Покажем, что интервал обладает мощностью континуума.

Функция у=tg x: →R отображает интервал на всю числовую прямую (график).