Вопросы существования пределов.

Определение. Пусть дана числовая последовательность x₁,x₂,…,x_n,… .

Эта последовательность называется фундаментальной, если для любого сколь угодно малого >0 найдется номер N=N(), зависящий от , такой, что начиная с этого номера, т.е.

Фундаментальная последовательность называется так же сходящейся «в себе».

Пример. 1) Покажем, что последовательность - фундаментальна.

Доказательство.

Возьмем N=+1,т.е. N>. Тогда

2) Покажем, что последовательность 0,1,0,1,… не является фундаментальной.

Какой бы номер N мы не взяли, найдутся такие числа n, m=n+1, что , т.е. последовательность не фундаментальна.

Свойства фундаментальной последовательности.

Теорема 1. Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть {x_n} – фундаментальная последовательность. Покажем, что

Т.к. {x_n} – фундаментальная последовательность, то

>0 N=N():

Возьмем =1, тогда =1

В частности,

Если , то

Положим С=, тогда n=1,2,…, т.е. фундаментальная последовательность ограниченна. ч.т.д.

Теорема 2. (Критерий Коши) (Критерий – необходимое и достаточное условие – сходимости).

Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство.

1. Необходимость. Дано: {x_n}-сходящаяся, x_n→a, n→.

Доказать, что {x_n}- фундаментальная.

Рассмотрим (1)

Т.к. {x_n}-сходящаяся, то возьмем >0, тогда

Если n, mN, то виду (1) имеем ч.т.д.

2. Достаточность. Дано: {x_n}- фундаментальная, доказать, что {x_n}- сходящаяся.

Т.к. {x_n}-фундаментальна, то она ограничена.

Пусть I₁ – наименьший отрезок, содержащий все члены последовательности.

I₂ – наименьший отрезок, содержащий все члены {x_n}, начиная со 2-го: х₂, х₃,…

И.т.д.

I_k - наименьший отрезок, содержащий все члены {x_n}, начиная с k-го x_k,x_k+1,…

И т.д.

Тогда I₁I₂I₃….

Согласно лемме о вложенных отрезках, найдется точка а, принадлежащая всем этим отрезкам:

Т.к. {x_n}- фундаментальная, то возьмем >0, тогда

В частности, если m=N, то .

В частности это означает, что в интервал попадает отрезок I_N (т.е. элементы x_n ).

Т.о. имеем, что точка а и все члены последовательности для содержатся в интервале длины , т.е. , т.е. x_n→a, n→. Ч.т.д.

Примеры (с.71 и с.73)

1) Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности {x_n}, где x_n=1+++…+.

Доказательство. Возьмем >0 и рассмотрим разность . Имеем

==++…+<++

+…+=+++…+=

=-<

Т.о. получили, что pN <.

Рассмотрим неравенство <n>. Положим N=, тогда n>N будет <, следовательно, n>N и pN <.

Следовательно, данная последовательность сходится. Ч.т.д.

2) Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности {x_n}, где x_n=1+++…+.

Доказательство. Возьмем любое , удовлетворяющее условию 0<< и рассмотрим разность . Имеем

=++…+.

В правой части р слагаемых, - наименьшее из этих слагаемых. Если каждое слагаемое в правой части заменить на наименьшее, то получим >, откуда при p=n будем иметь >> n. Следовательно, {x_n} расходится. Ч.т.д.