- •Пример. Вычислить сумму .
- •Домашнее задание 1.
- •Занятие 2. Метод математической индукции.
- •Пример 1. Доказать, что сумма первых n нечётных чисел () равна .
- •Пример 2. Найти все натуральные числа n, для которых верно неравенство
- •Задачи.
- •Домашнее задание 2.
- •Занятие 3. Элементы комбинаторики. Формула бинома Ньютона.
- •Пример . Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
- •Задачи.
- •Домашнее задание 3.
- •Занятие 4. Действительные и комплексные числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 4.
- •Занятие 5.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 5.
- •Занятие 6. Многочлены и рациональные дроби.
- •Пример 1. Решить уравнение .
- •Пример 2. Решить уравнение .
- •Пример 3. Записать многочлен в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами.
- •►1) По формуле (3) представим: .
- •Задачи.
- •Домашнее задание 6.
- •Занятие 7. Функции и последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 7.
- •Занятие 8. Предел последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 8.
- •Занятие 9. Доказательство пределов. Задачи
- •Домашнее задание 9.
- •Занятие 10. Контрольная работа №1. Самоподготовка.
- •Занятие 11. Предел функции. Задачи
- •Домашнее задание 13.
- •Занятие 14. Сравнение функций. Вычисление пределов. Задачи
- •Домашнее задание 14.
- •Занятие 15. Производная, дифференциал, геометрический смысл. Задачи
- •Домашнее задание 15.
- •Занятие 16. Дифференцирование композиции. Задачи
- •Домашнее задание 16.
- •Домашнее задание 18.
- •Занятие 21. Неопределённый интеграл.
- •Домашнее задание 21.
- •Домашнее задание 28.
- •Занятие 29. Длина кривой. Объём тела вращения. Задачи
- •Домашнее задание 30.
- •Занятие 31. Контрольная работа №3. Самоподготовка.
Занятие 21. Неопределённый интеграл.
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИІНТЕГРАЛОВ
1. 2.
3. ; 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
Задачи
21.1. . 21.2. . 21.3. . 21.4. .
21.5. . 21.6. . 21.7. . 21.8. .
21.9. . 21.10. . 21.11. . 21.12. .
21.13. . 21.14. . 21.15. . 21.16. .
21.17. . 21.18. . 21.19. .
Домашнее задание 21.
21.20. Найдите функцию , которая имеет производную и при принимает значение 5.
21.21. Пользуясь определением неопределённого интеграла, проверьте следующее равенство .
21.22. Путём тождественных преобразований подынтегральной функции найдите интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) (подсказка: ); 12) (подсказка: ).
21.23. Найдите интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) ; 11) ;
12) ; 13) ; 14) .
Занятие 22. Интегрирование по частям.
Задачи
Найдите интегралы методом интегрирования по частям:
22.1. . 22.2. . 22.3. . 22.4. .
22.5. . 22.6. . 22.7. . 22.8. .
22.9. . 22.10. .
Домашнее задание 22.
22.11. . 22.12. . 22.13. .
22.14. 22.15. . 22.16. .
Занятие 23. Интегрирование рациональных функций.
Задачи
23.1. . 23.2. . 23.3. .
23.4. . 23.5. . 23.6. .
23.7. . 23.8. .
Домашнее задание 23.
23.9. . 23.10. . 23.11. .
23.12. . 23.13. . 23.14. .
Занятие 24.
Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. Подстановки Чебышёва.
Задачи
24.1. 24.2. 24.3.
24.4. . 24.5. . 24.6. .
Домашнее задание 24.
24.7. 24.8. 24.9. .
24.10. . 24.11. .
Занятие 25.
Интегрирование рационально-тригонометрических функций.
Задачи
25.1. . 25.2. . 25.3. .
25.4. . 25.5. . 25.6. .
25.7. . 25.8. . 25.9. .
Домашнее задание 25.
25.10. . 25.11. . 25.12. .
25.13. . 25.14. . 25.15. . 25.16. .
Занятие 26.
Интегрирование квадратичных иррациональностей.
Задачи
26.1. . 26.2. . 26.3. .
26.4. . 26.5. .
Домашнее задание 26.
26.6. . 26.7. .
26.8. . 26.9. .
Занятие 27.
Определённый интеграл.
Задачи
27.1. Найдите интегральную сумму и вычислите интеграл для функции на отрезке , разделяя его на равных отрезков и выбирая значения в серединах этих отрезков.
27.2. Для функции найдите суммы Дарбу и на отрезке , разделив его на равных отрезков.
27.3. Какой из интегралов больше: 1) или ; 2) или ?
27.4. Вычислить: 1) . 2) .
27.5. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить .
27.6. Почему формальное использование формулы Ньютона-Лейбница приводит к неправильному результату:
1) ; 2) ; 3) ?
27.7. Вычислите интеграл .
27.8. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .
27.9. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .
27.10. Вычислить .
Домашнее задание 27.
27.11. Вычислить .
27.12. Вычислить: 1) ; 2) .
27.13. Вычислить .
27.14. Найти , если
Занятие 28.
Замена переменных. Интегрирование по частям.
Вычисление площадей
Задачи
27.1. Применяя формулу интегрирования по частям, вычислить: 1) ; 2) .
27.2. Применяя подходящую замену переменной, вычислите интегралы: 1) ; 2) .
27.3. Доказать, что если непрерывна на , то .
27.4. Получив рекуррентную формулу, вычислите интегралы: 1) ; 2)
27.5. Найдите площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в прямоугольных координатах: 1) . 2) .
27.6. Найдите площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в полярных координатах: 1) (кардиоида);
2) (точка принадлежит фигуре.