Пример 3. Записать многочлен в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами.

►Способ первый. Вычислим : . В таком случае по формуле (1) многочлен можно представить в виде . Перемножив попарно множители, соответствующие сопряжённым корням, получим .

Способ второй. Представив многочлен в виде и выделив в этой сумме квадратов квадрат сумы, получим . Разлагая правую часть на множители как разность квадратов, приходим к тому же результату.◄

2º. Рациональной функцией называется выражение , где – многочлены. Если степень многочлена меньше степени многочлена , то рациональная функция называется правильной. В противном случае функция называется неправильной и её можно представить виде , где является частным, а – остатком от деления многочлена на . При этом рациональная функция является правильной, или .

Пусть является правильной рациональной функцией, и – многочлен с действительными коэффициентами, причём разложение многочлена на множители имеет вид (2). Тогда существуют действительные константы такие, что имеет место равенство

. (3)

Слагаемые в правой части равенства (3) называются простыми рациональными дробями. Основные способы нахождения коэффициентов разложения правильной рациональной функции на сумму простых дробей рассмотрим на примерах.

Пример 4. Разложить на сумму простых рациональных дробей:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

►1) По формуле (3) представим: .

Из равенства рациональных дробей следует равенство многочленов

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему:

решение которой является . Таким образом,

.

Этот способ называется способом соответствующих коэффициентов.

2) В случае, если корни знаменателя рациональной функции простые, очень удобным является способ домножения. Сначала запишем разложение дроби с неопределёнными коэффициентами:

.

Домножая обе части этого равенства на , получаем

.

Полагая в обеих частях этого равенства значение (корень многочлена ), получим . Аналогично вычисляются .

3) Корни знаменателя в этом случае также простые, хотя и комплексные. Используем способ домножения: , откуда . Взяв значения и , получим . Из этой системы находим Таким образом, .

4) Беручы , получим .◄

Задачи.

6.1. Найдите частное и остаток от деления многочлена на многочлен : 1)  2)

6.2. Делится ли многочлен на многочлен : 1) 2) ?

6.3. При каких значениях а и b многочлен делится на ?

6.4. Докажите, что каждый рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами можно представить в виде p/q, где p является делителем свободного члена, а q – делитель старшего коэффициента этого многочлена.

6.5. Найдите рациональные корни уравнений: 1) ; 2) .

6.6. Убедитесь в том, что число является решением уравнения и найдите остальные решения.

6.7. Определите кратность корня уравнения .

6.8. Найдите сумму коэффициентов многочлена .

6.9. Представьте многочлен в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами: 1) ; 2) .

6.10. Выделите целую часть рациональной функции .

6.11. Разложите правильную рациональную функцию на сумму простых дробей: 1) ; 2) .