- •Пример. Вычислить сумму .
- •Домашнее задание 1.
- •Занятие 2. Метод математической индукции.
- •Пример 1. Доказать, что сумма первых n нечётных чисел () равна .
- •Пример 2. Найти все натуральные числа n, для которых верно неравенство
- •Задачи.
- •Домашнее задание 2.
- •Занятие 3. Элементы комбинаторики. Формула бинома Ньютона.
- •Пример . Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
- •Задачи.
- •Домашнее задание 3.
- •Занятие 4. Действительные и комплексные числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 4.
- •Занятие 5.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 5.
- •Занятие 6. Многочлены и рациональные дроби.
- •Пример 1. Решить уравнение .
- •Пример 2. Решить уравнение .
- •Пример 3. Записать многочлен в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами.
- •►1) По формуле (3) представим: .
- •Задачи.
- •Домашнее задание 6.
- •Занятие 7. Функции и последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 7.
- •Занятие 8. Предел последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 8.
- •Занятие 9. Доказательство пределов. Задачи
- •Домашнее задание 9.
- •Занятие 10. Контрольная работа №1. Самоподготовка.
- •Занятие 11. Предел функции. Задачи
- •Домашнее задание 13.
- •Занятие 14. Сравнение функций. Вычисление пределов. Задачи
- •Домашнее задание 14.
- •Занятие 15. Производная, дифференциал, геометрический смысл. Задачи
- •Домашнее задание 15.
- •Занятие 16. Дифференцирование композиции. Задачи
- •Домашнее задание 16.
- •Домашнее задание 18.
- •Занятие 21. Неопределённый интеграл.
- •Домашнее задание 21.
- •Домашнее задание 28.
- •Занятие 29. Длина кривой. Объём тела вращения. Задачи
- •Домашнее задание 30.
- •Занятие 31. Контрольная работа №3. Самоподготовка.
Домашнее задание 13.
13.12. Исследуйте на непрерывность и постройте график функции .
13.13. Определите тип точек разрыва функций , если: 1) ; 2) 3) 4) .
13.14. Как следует доопределить функцию в точке , чтобы она была непрерывной в этой точке, если: 1) 2) 3) ?
13.15. Пусть функция непрерывна в точке и . Найдите .
13.16. Исследуйте на непрерывность и постройте график функции .
Занятие 14. Сравнение функций. Вычисление пределов. Задачи
14.1. Определите порядок бесконечно малых функций при: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
14.2. Определите порядок бесконечно больших функций : 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
14.3. Пусть функция и при . Определите, какие из следующих функций будут бесконечно малыми при более высокого порядка, чем : 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .
14.4. Какие из следующих функций эквивалентны бесконечно малой : 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ?
14.5. Найдите пределы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Домашнее задание 14.
14.6. Определите порядок бесконечно малых функций при: 1) ; 2) .
14.7. Определите порядок бесконечно большой функции.
14.8. Найдите пределы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
14.9. Найдите пределы: 1) ; 2) .
Занятие 15. Производная, дифференциал, геометрический смысл. Задачи
15.1. Пользуясь определением, найдите производную функции: 1) ; 2) .
15.2. Для функции найдицте , и сравните их, когда: 1) ; 2) ; 3) .
15.3. Пусть функция является дифференцируемой в точке , и пусть в точке задано приращение . Найдите , если главная линейная часть приращения функции в точке , соответствующая заданному приращению аргумента, равна 0,8.
15.4. Дакажите приближённую формулу , если значительно меньше, чем . Спомощью этой формулы вычислите приближённо: 1) ; 2) .
15.5. Вычислите приближённое значение .
15.6. Найдите точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси .
15.7. 1) Запишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой ; 2) Запишите уравнение той нормали к кривой , которая параллельна прямой .
15.8. Запишите уравнения касательной и нормали к кривой в точках: 1) ; 2) ; 3) .
15.9. Определите, в какой точке и под каким углом пересекаются кривые и .
Домашнее задание 15.
15.10. Пользуясь определением, найдите производную функции .
15.11. Найдите производные следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .
15.12. Найдите точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси .
15.13. Определите, в какой точке и под каким углом пересекаются кривые и .
15.14. Докажите, что семьи парабол и образуют ортогональную сеть, т.е. кривые этих семей пересекаются под прямыми углами.
15.15. Вычислите приближённые значения: 1) ; 2) .