- •Пример. Вычислить сумму .
- •Домашнее задание 1.
- •Занятие 2. Метод математической индукции.
- •Пример 1. Доказать, что сумма первых n нечётных чисел () равна .
- •Пример 2. Найти все натуральные числа n, для которых верно неравенство
- •Задачи.
- •Домашнее задание 2.
- •Занятие 3. Элементы комбинаторики. Формула бинома Ньютона.
- •Пример . Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
- •Задачи.
- •Домашнее задание 3.
- •Занятие 4. Действительные и комплексные числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 4.
- •Занятие 5.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 5.
- •Занятие 6. Многочлены и рациональные дроби.
- •Пример 1. Решить уравнение .
- •Пример 2. Решить уравнение .
- •Пример 3. Записать многочлен в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами.
- •►1) По формуле (3) представим: .
- •Задачи.
- •Домашнее задание 6.
- •Занятие 7. Функции и последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 7.
- •Занятие 8. Предел последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 8.
- •Занятие 9. Доказательство пределов. Задачи
- •Домашнее задание 9.
- •Занятие 10. Контрольная работа №1. Самоподготовка.
- •Занятие 11. Предел функции. Задачи
- •Домашнее задание 13.
- •Занятие 14. Сравнение функций. Вычисление пределов. Задачи
- •Домашнее задание 14.
- •Занятие 15. Производная, дифференциал, геометрический смысл. Задачи
- •Домашнее задание 15.
- •Занятие 16. Дифференцирование композиции. Задачи
- •Домашнее задание 16.
- •Домашнее задание 18.
- •Занятие 21. Неопределённый интеграл.
- •Домашнее задание 21.
- •Домашнее задание 28.
- •Занятие 29. Длина кривой. Объём тела вращения. Задачи
- •Домашнее задание 30.
- •Занятие 31. Контрольная работа №3. Самоподготовка.
Домашнее задание 6.
6.12. При делении многочлена на получается остаток 7, а при делении на – остаток 3. Найдите остаток от деления на .
6.13. Убедитесь в том, что число является решением уравнения и найдите остальные решения.
6.14. Определите кратность корня уравнения .
6.15. Представьте многочлен в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами.
6.16. Разложите правильную рациональную функцию на сумму простых дробей: 1) ; 2) .
Занятие 7. Функции и последовательности. Задачи
7.1. Для функции f(x) = найдите f(0), , , , .
7.2. Найдите , если: 1) ; 2) .
7.3. Пусть , , . Запишите формулы, задающие композиции: 1) fg; 2) gf; 3) fφg; 4) gφf ; 5) φgf .
7.4. Постройте графики функций: 1) y = ; 2) y=; 3) y=; 4) y=sgn(x–4).
7.5. Пусть = 2x – 1. Постройте графики функций: ; –, , , , .
7.6. Запишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой общего члена: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) , где , .
7.7. Запишите 5 первых членов последовательности, заданной рекуррентной формулой: , .
7.8. Являются ли ограниченными последовательности: 1) ; 2) ; 3) ?
Домашнее задание 7.
7.9. Постройте графики функций: 1) y = ; 2) y = x + ; 3) y = sgn(sinx); 4) y = cosx + .
7.10. Найдите формулу общего члена последовательности, у которой члены с чётными номерами равны 1, а члены с нечётными номерами равны 0.
7.11. Докажите, что следующие последовательности ограничены: 1) ; 2) .
7.12. Найдите точные верхнюю и нижнюю границы последовательности .
Занятие 8. Предел последовательности. Задачи
8.1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
8.2. Докажите, что следующие последовательности являются бесконечно малыми 1) (); 2) .
8.3. Докажите, что: 1) ; 2) если .
8.4. Найдите предел последовательности: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
8.5. Раскройте неопределённость (т.е. найдите предел последовательности ) путём предварительного деления числителя и знаменателя дроби на соответствующую степень или : 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)
8.6. Найдите пределы следующих иррациональных выражений, используя приём переведения иррациональности из знаменателя в числитель или из числителя в знаменатель: 1) ; 2) ; 3) .
Домашнее задание 8.
8.7. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
8.8. Раскройте неопределённость (т.е. найдите предел последовательности ) путём предварительного деления числителя и знаменателя дроби на соответствующую степень или : 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
8.9. Докажите, что последовательность сходится к пределу , если .
8.10. Найдите пределы следующих иррациональных выражений, используя приём переведения иррациональности из знаменателя в числитель или из числителя в знаменатель: 1) ; 2)