- •Пример. Вычислить сумму .
- •Домашнее задание 1.
- •Занятие 2. Метод математической индукции.
- •Пример 1. Доказать, что сумма первых n нечётных чисел () равна .
- •Пример 2. Найти все натуральные числа n, для которых верно неравенство
- •Задачи.
- •Домашнее задание 2.
- •Занятие 3. Элементы комбинаторики. Формула бинома Ньютона.
- •Пример . Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
- •Задачи.
- •Домашнее задание 3.
- •Занятие 4. Действительные и комплексные числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 4.
- •Занятие 5.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 5.
- •Занятие 6. Многочлены и рациональные дроби.
- •Пример 1. Решить уравнение .
- •Пример 2. Решить уравнение .
- •Пример 3. Записать многочлен в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами.
- •►1) По формуле (3) представим: .
- •Задачи.
- •Домашнее задание 6.
- •Занятие 7. Функции и последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 7.
- •Занятие 8. Предел последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 8.
- •Занятие 9. Доказательство пределов. Задачи
- •Домашнее задание 9.
- •Занятие 10. Контрольная работа №1. Самоподготовка.
- •Занятие 11. Предел функции. Задачи
- •Домашнее задание 13.
- •Занятие 14. Сравнение функций. Вычисление пределов. Задачи
- •Домашнее задание 14.
- •Занятие 15. Производная, дифференциал, геометрический смысл. Задачи
- •Домашнее задание 15.
- •Занятие 16. Дифференцирование композиции. Задачи
- •Домашнее задание 16.
- •Домашнее задание 18.
- •Занятие 21. Неопределённый интеграл.
- •Домашнее задание 21.
- •Домашнее задание 28.
- •Занятие 29. Длина кривой. Объём тела вращения. Задачи
- •Домашнее задание 30.
- •Занятие 31. Контрольная работа №3. Самоподготовка.
Занятие 9. Доказательство пределов. Задачи
9.1. 1) Докажите, что . 2) Обобщите полученный результат, доказав, что .
9.1. 1) Докажите, что . 2) Обобщите полученный результат, доказав, что .
9.2. Докажите .
9.3. Докажите .
9.4. 1) Докажите ; 2) Вычислите .
9.5. 1) Пусть и Докажите, что . 2) Найдите .
9.6. Найдите пределы последовательностей : 1) , где – многочлен степени , причём ;
2) .
9.7. Найдите: 1) ; 2) ;3) ; 4) .
9.8. Докажите сходимость монотонных последовательностей: 1) ; 2) .
9.9. С помощью Критерия Коши докажите сходимость последовательности , т.е. сходимость ряда .
9.10. Сформулируйте в положительном смысле, что данная последовательность не удовлетворяет условия критерия Коши. Докажите расходимость ряда .
Домашнее задание 9.
9.11. Докажите 1) ; 2) .
9.12. Найдите пределы последовательностей : 1) ; 2) где .
9.13. Докажите сходимость монотонных последовательностей: 1) ; 2) где ограниченная последовательность с положительными членами.
9.14. С помощью Критерия Коши докажите сходимость последовательности .
Занятие 10. Контрольная работа №1. Самоподготовка.
1. Вычислите а) ; б) ;в) .
2. Найдите коэффициент при разложения бинома .
3. Найдите а) комплексные корни уравнения ; б) найменьший действительный корень многочлена , если он имеет корень . в) действительные корни многочлена , если известно, что он делится на двучлен .
4. Пользуясь определением предела, докажите, что: а) ; б) ; в) ; г) .
5. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Занятие 11. Предел функции. Задачи
11.1. Найдите пределы: 1) ; 2) ; 3) .
11.2. Найдите пределы: 1) ; 2) ; 3) .
11.3. Найдите пределы: 1); ; 2) ; 3) ; 4) .
11.4. Найдите пределы: 1) ; 2) ; 3)
11.5. Найдите пределы: 1) ; 2)
11.6. Найдите пределы: 1) ; 2) . 3) ; 4) .
11.7. Найдите предел .
Домашнее задание 11.
11.8. Найдите пределы: 1) ; 2) .
11.9. Найдите пределы: 1) ; 2) ; 3) .
11.10. Найдите пределы: 1) ; 2) .
11.11. Найдите пределы: 1) ; 2) ; 3) .
11.12. Найдите пределы: 1) ; 2) ; 3) .
Занятие 12. Замечательные пределы.
Задачи
12.1. Найдите пределы: 1) 2) 3) 4) .
12.2. Найдите пределы: 1) 2) 3) .
12.3. Найдите предел .
12.4. Найдите пределы: 1) ; 2) .
12.5. Найдите пределы: 1) ; 2) ; 3) .
12.6. Найдите пределы: 1) ; 2) .
12.7. Найдите пределы: 1) ; 2) .
12.8. Найдите пределы: 1) ; 2) ; 3) .
12.9. Найдите пределы: 1) ; 2) .
Домашнее задание 12.
12.10. Найдите пределы: 1) 2) 3) 4) ; 5) .
12.11. Найдите пределы: 1) 2) 3) 4) 5) 6) ; 7) ; 8) .
Занятие 13. Непрерывность. Точки разрыва.
Задачи
13.1. Запишите с помощью неравенств следующие утверждения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) .
13.2. 1) Дайте определение непрерывности функции в точке по Коши. 2) Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Сформулируйте в положительном смысле утверждение, что не является непрерывной в точке . 13.3. Пользуясь определением Коши, докажите непрерывность функции в каждой точке .
13.4. Исследуйте на непрерывность и постройте графики функций: 1) ; 2) .
13.5. Определите тип точек разрыва функций , если: 1) ; 2) ; 3) .
13.6. Пусть функция непрерывна в точке и . Найдите .
13.7. Исследуйте на непрерывность функцию .
13.8. При каком значении функция является непрерывной?
13.9. Исследуйте на непрерывность и постройте графики функций: 1) ; 2) .
13.10. Сформулируйте теорему о промежуточном значении непрерывной функции. Пусть функции и непрерывны на отрезке и , а . Докажите, что существует точка такая, что .
13.11. Докажите, что многочлен : а) имеет корень на отрезке ; б) имеет не менее трёх действительных корней.