- •Пример. Вычислить сумму .
- •Домашнее задание 1.
- •Занятие 2. Метод математической индукции.
- •Пример 1. Доказать, что сумма первых n нечётных чисел () равна .
- •Пример 2. Найти все натуральные числа n, для которых верно неравенство
- •Задачи.
- •Домашнее задание 2.
- •Занятие 3. Элементы комбинаторики. Формула бинома Ньютона.
- •Пример . Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
- •Задачи.
- •Домашнее задание 3.
- •Занятие 4. Действительные и комплексные числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 4.
- •Занятие 5.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 5.
- •Занятие 6. Многочлены и рациональные дроби.
- •Пример 1. Решить уравнение .
- •Пример 2. Решить уравнение .
- •Пример 3. Записать многочлен в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами.
- •►1) По формуле (3) представим: .
- •Задачи.
- •Домашнее задание 6.
- •Занятие 7. Функции и последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 7.
- •Занятие 8. Предел последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 8.
- •Занятие 9. Доказательство пределов. Задачи
- •Домашнее задание 9.
- •Занятие 10. Контрольная работа №1. Самоподготовка.
- •Занятие 11. Предел функции. Задачи
- •Домашнее задание 13.
- •Занятие 14. Сравнение функций. Вычисление пределов. Задачи
- •Домашнее задание 14.
- •Занятие 15. Производная, дифференциал, геометрический смысл. Задачи
- •Домашнее задание 15.
- •Занятие 16. Дифференцирование композиции. Задачи
- •Домашнее задание 16.
- •Домашнее задание 18.
- •Занятие 21. Неопределённый интеграл.
- •Домашнее задание 21.
- •Домашнее задание 28.
- •Занятие 29. Длина кривой. Объём тела вращения. Задачи
- •Домашнее задание 30.
- •Занятие 31. Контрольная работа №3. Самоподготовка.
Задачи.
4.1. Сравните действительные числа и : 1) а = 1,(1234512), b = 1,(12345); 2) а = 1,0(123), b = 1,0(1231).
4.2. Рациональное число запишите в виде десятичной дроби.
4.3. Запишите бесконечные периодические десятичные дроби в виде обыкновенных дробей: 1) 0,(7); 2) 2,4(31).
4.4. Какое из чисел больше: 1) а или –а; 2) а или , если а≠0?
4.5. Докажите, что число log23 является иррациональным.
4.6. Найдите точные верхние и нижние границы мнжеоств: 1) {n}; 2){ }; 3) {}; 4) {} ().
4.7. Докажите, что нуль является нижней границей множеств: 1) ; 2) .
4.8. Найдите такие действительные числа x и y так, чтобы , если .
4.9. Вычислить произведение и частное , если: 1) ; 2) .
4.10. Разрешите систему уравнений .
4.11. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям: 1) ; 2) .
Домашнее задание 4.
4.12. Найдите сумму a + b действительных чисел а = 0,(51), b = 0,(53).
4.13. Сравните действительные числа и .
4.14. Зная, что числа и – иррациональные, докажите иррациональность числа .
4.15. Докажите, что нуль является нижней границей множеств: 1) ; 2) .
4.16. Разрешите систему уравнений .
4.17. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию .
Занятие 5.Тригонометрическая форма комплексного числа.
Модулем комплексного числа z называется длина соответствующего ему вектора. Модуль числа обозначается |z| и вычисляется по формуле
. (1)
Аргументом комплексного числа называется угол угол между положительным направлением действительной оси и вектором z. Для числа аргумент не определяется. Аргумент комплекного числа z обозначается и определяется с точностью до слагаемого, кратного 2π.
Из геометрических соображений несложно представить действительную и мнимую части комплексного числа через его модуль r и аргумент :
, (2)
Откуда следует . (3)
Аргументы комплексного числа можно вычислить из уравнения , которое является следствием системы (3). Это уравнение имеет больше решений, чем система (3), но выбрать нужные решения (аргументы комплексного числа) можно по правилу: если , (т.е. число z расположено в правой полуплоскости), то ; если Rez<0, (т.е. число z расположено в левой полуплоскости), то .
Из равенств (2) следует, что камплексное число можно представить в виде , где . Такое представление комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа. Тригонометрическая форма является исключительно удобной для умножаения и деления комплексных чисел.
Если , , то
, .
На основании этих равенств выводится формула возведения в степень
,
частный случай которой называется формулой Муавра.
Камплексное число w называется корнем степени n из комплекного числа z и обозначается , если . Если , то существубт n значений корня степени n из числа z, которые находятся по формуле
. (4)
Комплексные числа, являющиеся корнями степени n из числа z, соответствуют точкам комплекcной плоcкости, расположенным в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке О.
Пример 1. Определить аргументы комплексных чисел .
▶ Поскольку , то . В то же время , а поэтому . ◄
Пример 2. Найти модули и аргументы чисел
.
▶ Для нахождения модулей и аргументов чисел и совсем необязательно пользоваться формулами (1) и (3). На основании формул приведения выполним следующие преобразования:
Поскольку и представлены в тригонометрической форме, то
. ◄
Пример 3. Записать в тригонометрической форме комплексное число
.
▶ Поскольку число имеет ||=1 и arg , число = мае ||=4 и , а число = имеет ||=2 и , то
, . Поэтому . ◄
Пример 4. Вычислить .
▶ При вычислении корня квадратного часто бывает более удобно использовать вместо формулы (4) определение корня второй степени из комплексного числа. Пусть , тогда 5–12i = . Числf а и b определяются из системы уравнений решения которой (–3; 2) и (3; –2). Таким образом, комплексные числа и , являются двумя значениями . ◄