Билет №24

1. Термодинамическая система — это некая физическая система, состоящая из большого количества частиц, способная обмениваться с окружающей средой энергией и веществом. Также обычно полагается, что такая система подчиняется статистическим закономерностям. Для термодинамических систем справедливы законы термодинамики.

Внутренняя энергия - Внутренняя энергия определяется как энергия случайных, находящихся в неупорядченном движении молекул. Энергия молекул находится в диапазоне от высокой, необходимой для движения, до заметной лишь с помощью микроскопа энергии на молекулярном или атомном уровне. Например, у стакана с водой комнатной температы, стоящего на столе нет, на первый взгляд, никакой энергии: ни кинетической, ни потенциальной относительно стола. Но, с помощью микроскопа становится заметна "бурлящая" масса быстро двигающихся молекул. Если выплеснуть воду из стакана, эта микроскопическая энергия не обязательно заметно изменится, когда мы усредним добавленную кинетическую энергию на все молекулы воды.

Тепло - Тепло может быть определено, как энергия, передаваемая от объекта с более высокой температурой к объекту с менее высокой температурой. Сам по себе объект не обладает "теплом"; соответствующий термин для микроскопической энергии объекта - внутренняя энергия. Внутренняя энергия может увеличиваться путем переноса энергии к объекту от объекта, имеющего температуру выше - этот процесс называется нагревом.

1-й закон термодинамики

Изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданной системе и не зависит от способа, которым осуществляется этот переход.

2. Работа движущегося в магнитном поле проводника с током

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, которые определяются с помощью закона Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура сделана в виде подвижной перемычки, рис. 1), то под действием силы Ампера он в магнитном поле будет перемещаться. Значит, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Для вычисления этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно двигаться), который помещен в однородное внешнее магнитное поле, которое перпендикулярно плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера, рассчитывается по формуле

Под действием данной силы проводник передвинется параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, которая совершается магнитным полем, равна

так как ldx=dS — площадь, которую пересекает проводник при его перемещении в магнитном поле, BdS=dФ — поток вектора магнитной индукции, который пронизывает эту площадь. Значит,

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Данная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.

Магни́тный пото́к — поток как интеграл вектора магнитной индукции через конечную поверхность .

Уде́льная теплоёмкость (Удельная теплота нагревания на один градус, обозначается как c) вещества определяется как количество тепловой энергии, необходимой для повышениятемпературы одного килограмма вещества на один градус.

Единицей СИ для удельной теплоёмкости является Джоуль на килограмм-Кельвин. Следовательно, удельную теплоёмкость можно рассматривать как теплоёмкость единицы массы вещества. На значение удельной теплоёмкости влияет температура вещества. К примеру, измерение удельной теплоёмкости воды даст разные результаты при 20 °C и 60 °C.

Формула расчёта удельной теплоёмкости: , где  — удельная теплоёмкость,  — количество теплоты, полученное веществом при нагреве (или выделившееся при охлаждении),  — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества,  — разность конечной и начальной температур вещества.

Молярная теплоёмкость — это теплоёмкость одного моля вещества. Часто употребляется обозначение C. Однако буквой C часто обозначается и простая теплоёмкость.

Связь с удельной теплоёмкостью:

С=M•с,

где с — удельная теплоёмкость, М — молярная масса.

Размерность молярной теплоёмкости [Дж/(К•моль)]

майера уравнение

МАЙЕРА УРАВНЕНИЕ - ур-ние, устанавливающее связь между теплоёмкостями при пост, давлении Cp и пост, объёме С_V 1 кмоляидеального газа: где R - газовая постоянная .Впервые было получено Ю. P. Майером (J. R. Mayer) в 1842 и ещё до работ Дж. П. Джоуля (J. P. Joule) использовано им для количеств, определения механического эквивалента теплоты. Для произвольной массы т(кг) вещества в состоянии идеального газа M. у. записывается в виде:  , где - молекулярная масса газа. M. у. можно получить из общего соотношения   если учесть, что для идеального газа справедливо Клапейрона уравнение.

ЭДС вращающегося контура

Пусть рамка вращается в однородном магнитном поле (B=const) равномерно с угловой скоростью ω=const. Магнитный поток, который сцеплен с рамкой площадью S, в любой произвольный момент времени t будет равен    где α = ωt — угол поворота рамки в момент времени t (начало отсчета выбрано так, чтобы при t=0 было α=0).  Во время вращения рамки в ней будет появляться переменная э.д.с. индукции   (1)  которая изменяется со временем по гармоническому закону. При sinαt = 1 э.д.с. ξ_i максимальна, т. е.   (2)  Учитывая (2), формула (1) запишется как    Значит, если рамка вращается равномерно в однородном магнитном поле, то в ней возникает переменная э.д.с., которая изменяется по гармоническому закону.  Из формулы (2) следует, что ξ_max (следовательно, и э.д.с. индукции) находится в непосредственной зависимости от величин ω, B и S. В России принята стандартная частота тока ν = ω/(2π) = 50 Гц, поэтому на практике возможно лишь увеличение двух остальных величии. Для увеличения В применяют мощные постоянные магниты или пропускают значительный ток в электромагнитах, а также внутрь электромагнита помещают сердечники из материалов с большим значением магнитной проницаемостью μ. Если вращать не один, а большое количество витков, соединенных последовательно, то тем самым увеличивается S. Переменное напряжение снимается с вращающегося витка с помощью щеток, схематически изображенных на рис. 1.  Процесс превращения механической энергии в электрическую обратим. Если по рамке, которая помещена в магнитное поле, пропускать электрический ток, то в магнитном поле на нее будет действовать вращающий момент и рамка начнет вращаться. На этом принципе основана работа электродвигателей, имеющих предназначение превращать электрическую энергии в механическую.

Количество теплоты, полученное системой, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение работы над внешними телами.

Первый закон термодинамики является обобщением опытных фактов. Согласно этому закону, энергия не может быть создана или уничтожена; она передается от одной системы к другой и превращается из одной формы в другую. Важным следствием первого закона термодинамики является утверждение о невозможности создания машины, способной совершать полезную работу без потребления энергии извне и без каких-либо изменений внутри самой машины. Такая гипотетическая машина получила названиевечного двигателя (perpetuum mobile) первого рода. Многочисленные попытки создать такую машину неизменно заканчивались провалом. Любая машина может совершать положительную работу A над внешними телами только за счет получения некоторого количества теплоты Q от окружающих тел или уменьшения ΔU своей внутренней энергии.

Применим первый закон термодинамики к изопроцессам в газах.

В изохорном процессе (V = const) газ работы не совершает, A = 0. Следовательно, 

Q = ΔU = U (T₂) – U (T₁).

Здесь U (T₁) и U (T₂) – внутренние энергии газа в начальном и конечном состояниях. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры (закон Джоуля). При изохорном нагревании тепло поглощается газом (Q > 0), и его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении тепло отдается внешним телам (Q < 0).

В изобарном процессе (p = const) работа, совершаемая газом, выражается соотношением 

A = p (V₂ – V₁) = p ΔV.

Первый закон термодинамики для изобарного процесса дает: 

Q = U (T₂) – U (T₁) + p (V₂ – V₁) = ΔU + p ΔV.

При изобарном расширении Q > 0 – тепло поглощается газом, и газ совершает положительную работу. При изобарном сжатии Q < 0 – тепло отдается внешним телам. В этом случае A < 0. Температура газа при изобарном сжатии уменьшается, T₂ < T₁; внутренняя энергия убывает, ΔU < 0.

Самоиндукция — возникновение ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре^[1] при изменении тока, протекающего по контуру.

При изменении тока в контуре пропорционально меняется^[2] и магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром^[3]. Изменение этого магнитного потока, в силу закона электромагнитной индукции, приводит к возбуждению в этом контуре индуктивной ЭДС.

Это явление и называется самоиндукцией. (Понятие родственно понятию взаимоиндукции, являясь как бы его частным случаем).

Направление ЭДС самоиндукции всегда оказывается таким, что при возрастании тока в цепи ЭДС самоиндукции препятствует этому возрастанию (направлена против тока), а при убывании тока — убыванию (сонаправлена с током). Этим свойством ЭДС самоиндукции сходна с силой инерции.

Величина ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения силы тока I:

.

Коэффициент пропорциональности L называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура (катушки).

Индуктивность (или коэффициент самоиндукции) — коэффициент пропорциональности между электрическим током, текущим в каком-либо замкнутом контуре и магнитным потоком, создаваемым этим током через поверхность, краем которой является этот контур.

В формуле

 - магнитный поток, I - ток в контуре, L - индуктивность.

• Иногда говорят об индуктивности прямого бесконечного провода (при этом подразумевается магнитный поток, создаваемый им через полуплоскость, им ограниченную).

Через индуктивность выражается ЭДС самоиндукции в контуре, возникающая при изменении в нём тока^[4]:

.

27

Изотермический процесс (Т=соnst) в идеальном газе силы межмолекулярного взаимодействия равны нулю. Внутренняя энергия идеального газа зависит от температуры, количества вещества и не зависит от давления и объема, поэтому для данных условий U=соnst; dU=0 dQТ= dW = рdV ; QТ= W теплота, сообщенная системе, в изотермическом процессе полностью расходуется на совершение работы расширения. используя р=RТ/V и проинтегрировав получим W= RТln(V/V1 = RТln(р/р1), т.к. по закону Бойля-Мариотта (р V)Т = соnst

При изучении магнитного поля в веществе различают два типа токов – макротоки и микротоки.

Макротоками называются токи проводимости и конвекционные токи, связанные с движением заряженных макроскопических тел.

Микротоками (молекулярными токами) называют токи, обусловленные движением электронов в атомах, молекулах и ионах.

Магнитное поле в веществе является суперпозицией двух полей: внешнего магнитного поля, создаваемого макротоками и внутреннего, или собственного, магнитного поля, создаваемого микротоками.

Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная величина – намагниченность , равная отношению магнитного момента малого объема вещества к величине этого объема:

где – магнитный момент i-го атома из числа n атомов, в объеме ΔV.

28

Адиабатный процесс — это процесс, происходящий без теплообмена системы с окружающей средой, т.е. Q = 0. Первый закон термодинамики имеет вид:

Это значит, что при адиабатном процессе система может выполнять работу над внешними телами только за счет убыли своей внутренней энергии. Если А > 0, то ΔU = -A < 0, т.е. U2 < U1, а так как , то T2 < T1.

Молярная теплоемкость одноатомного газа при постоянном давлении . На плоскости (P, V) адиабаты изображаются семейством кривых PV ^γ = const. Это соотношение называют уравнением Пуассона. Здесь – показатель адиабаты. Для одноатомного газа Cp и CV – теплоемкости газа в процессах с постоянным давлением и с постоянным объемом

Работа газа в адиабатическом процессе просто выражается через температуры T1 и T2 начального и конечного состояний: A = C_V (T₂ – T₁).

2) Явление и ЭДС взаимоиндукции. Трансформатор.

Если две катушки находятся на некотором расстоянии друг от друга и по одной из них К1 проходит изменяющийся ток, то часть магнитного потока, возбуждаемого этим током, пронизывает (пересекает) витки второй катушки К2 и в ней возникает э. д. с, называемая э. д. с. взаимоиндукции (рис. 44).

Под действием э. д. с. взаимоиндукции в замкнутой цепи второй катушки возникает электрический ток взаимоиндукции. Он вызывает появление магнитного поля, которое пронизывает витки первой катушки, в ре­зультате чего в ней также возникает э. д. с. взаимоиндукции. Такое явление называется взаимоиндукцией.

Величина э. д. с. взаимоиндукции, возникающей во второй катушке, зависит от размеров, расположения катушек, магнитной проницаемости их сердечника, а также от скорости изменения силы тока в первой катушке. Эту зависимость можно выразить формулой.

где ∆I — изменение силы тока (а) за время ∆t, сек;

М — величина, зависящая от размеров катушек, их расположения и магнитной проницаемости среды между катушками. Она, называется взаимной индуктивностью и измеряется в генри (гн).

Знак минус в этой формуле показывает, что э. д. с. взаимоиндукции противодействует причине, вызывающей ее.

Взаимной индуктивностью в 1 гн обладают две цепи в том случае, если в одной из них возникает э. д. с. взаимоиндукции в 1 в при равномерном изменении тока в другой цепи со скоростью 1 а в 1 сек.

На использовании явления взаимоиндукции основано действий трансформаторов.

Трансформатором называется аппарат, преобразующий переменный ток одного напряжения в переменный ток другого напряжения, но той же частоты.

Устройство трансформатора следующее. На сердечнике, собранном из пластин электротехнической стали, намотаны две обмотки/ Обмотка, к которой подводится напряжение, называется первичной. Ток, проходя по первичной обмотке, создает магнитное поле, линии которого замыкаются по сердечнику. Обмотка, в которой будет наводиться э. д. с. взаимоиндукции, используемая далее во внешней цепи, называется вторичной обмоткой.

Если первичную обмотку трансформатора питать переменным током, т. е. током» изменяющимся по величине и направлению, то во вторичной обмотке будет индуктироваться переменная э. д. с. Если ко вторичной обмотке подключить нагрузку (лампы накаливания, двигатели), то во вторичной цепи будет протекать переменный ток.

билет 29

№29.1

Термодинамическая вероятность — число способов, которыми может быть реализовано состояние физической системы. В термодинамике состояние физической системы характеризуется определёнными значениями плотности, давления, температуры и др. измеримых величин. Перечисленные величины определяют состояние системы в целом (её макросостояние). Однако при одной и той же плотности, температуре и т. д. частицы системы могут различными способами распределиться в пространстве и иметь различные импульсы. Каждое данное распределение частиц называется микросостоянием системы. Вероятность термодинамическая (обозначается W) равна числу микросостояний, реализующих данное макросостояние, из чего следует, что W3 = 1 . Вероятность термодинамическая связана с одной из основных макроскопических характеристик системы энтропией S соотношением Больцмана: S = k * ln(W), где k — Больцмана постоянная.

Энтропия. От греческого entropia -- поворот, превращение. Понятие энтропии впервые было введено в термодинамике для определения меры необратимого рассеяния энергии. Энтропия широко применяется и в других областях науки: в статистической физике как мера вероятности осуществления какого -- либо макроскопического состояния; в теории информации -- мера неопределенности какого-либо опыта (испытания), который может иметь разные исходы. Все эти трактовки энтропии имеют глубокую внутреннюю связь. Энтропия -- это функция состояния, то есть любому состоянию можно сопоставить вполне определенное (с точность до константы -- эта неопределенность убирается по договоренности, что при абсолютном нуле энтропия тоже равна нулю) значение энтропии.

29.2

ФЕРРОМАГНЕТИЗМ , магнитоупорядоченное состояние макроскопических объемов вещества (ферромагнетика), в котором магнитные моменты атомов (ионов) параллельны и одинаково ориентированы. Эти объемы - домены - обладают магнитным моментом Ms (самопроизвольной намагниченностью) даже при отсутствии внешнего намагничивающего поля. Для ферромагнетиков во внешнем магнитном поле характерны: нелинейность кривой намагничивания и магнитный гистерезис при перемагничивании. Значение Ms максимально при Т = 0К, с увеличением температуры Ms уменьшается и обращается в нуль в Кюри точке, выше которой вещество становится парамагнитным.

Ферромагнитные вещества

Из магнитных веществ люди раньше всего познакомились с железом, у которого достаточно сильно проявляются магнитные свойства. Кроме железа, ферромагнитными свойствами, как было установлено позже, обладают никель и кобальт. Сплавляя эти вещества в определенных соотношениях, получают материалы, которые в большинстве случаев также обладают ферромагнетизмом (железо-кобальтовые и другие сплавы). Ферромагнитные свойства имеют также многочисленные сплавы железа, никеля и кобальта с парамагнитными и диамагнитными веществами, например сплавы никеля с медью, железа с углеродом и т. д. Содержание железа, никеля или кобальта в этих сплавах должно быть гораздо больше, чем парамагнитного или диамагнитного вещества.

Магнитными свойствами обладают и некоторые оксиды железа, никеля и кобальта. Такие материалы в отличие от сплавов называются ферритами. К ним, в частности, относится магнетит, с магнитными свойствами которого человек столкнулся еще в глубокой древности.

Изучению ферромагнитных материалов всегда уделялось большое внимание, так как они- широко используются в электротехнике и радиотехнике.

В 1935 г. был открыт четвертый ферромагнитный элемент — гадолиний. А позднее установили, что и другой элемент — диспрозий, стоящий в таблице элементов по соседству с гадолинием, также обладает ферромагнетизмом. Однако гадолиний и диспрозий встречаются в природе редко и как магнитные материалы практически не используются.

Кроме того, ученые определили, что марганец и хром при сплавлении с некоторыми веществами, например с медью и алюминием, становятся ферромагнитными. Так, сплав, состоящий из марганца, меди и алюминия, может служить хорошим магнитом. Таким образом, был установлен замечательный факт, что сплавы некоторых парамагнитных и диамагнитных элементов становятся ферромагнитными.

И наоборот, такие ферромагнитные элементы, как железо и никель, сплавленные в определенной пропорции, образуют материал со столь слабыми магнитными свойствами, что его следует считать скорее парамагнитным, чем ферромагнитным.

Опыты показали, что если нагревать какое-либо ферромагнитное тело, то намагниченность начинает падать, сначала медленно, затем быстрее и быстрее и, наконец, практически совсем исчезает. Точные исследования показали, что тело становится слабомагнитным (парамагнитным). В этом можно убедиться на простом опыте.

Железный гвоздь при обычной температуре притягивается электромагнитом (рис. 102), но если его нагреть докрасна, то он потеряет свои ферромагнитные свойства и не будет притягиваться.

Очень эффектен опыт с магнитной вертушкой. Вблизи полюса электромагнита помещают магнитную вертушку, спицы которой сделаны из никелевых проволок (рис. 103). Если нагреть спицы, близко расположенные к полюсу, то вертушка начнет вращаться вокруг вертикальной оси. Вращение объясняется тем, что спица, попавшая в пламя горелки, нагревается, теряет свои ферромагнитные свойства и перестает притягиваться к магниту; ее место вследствие притяжения занимает более холодная спица. Этот процесс все время повторяется, и поэтому вертушка непрерывно вращается. Получается своеобразный двигатель. Впрочем, коэффициент полезного действия такого термомагнитного двигателя очень низок.

Впервые исчезновение магнитных свойств при нагревании железа наблюдал еще в 1600 г. английский врач Вильям Гильберт—первый исследователь магнетизма. Более подробно это явление было изучено в 1895 г. французским ученым Пьером Кюри. Температуру, при которой данный ферромагнетик теряет свои ферромагнитные свойства, стали называть температурой Кюри или точкой Кюри.

Для железа эта температура равна 768 °С, для никеля — 365 °С, для кобальта — 1150 °С. Сплав, состоящий из 30% никеля и 70% железа, имеет точку Кюри 80 °С, а элемент гадолиний — 16 °С; следовательно, при комнатных температурах гадолиний находится в парамагнитном состоянии и лишь при понижении температуры проявляет ферромагнитные свойства.

Билет №30

1. Энтропия при обратимых и необратимых процессах. Второй закон термодинамики и его применение

Второй закон термодинамики имеет две формулировки:

1) В циклически действующей тепловой машине невозможен процесс, единственным результатом которого было бы преобразование в механическую работу всего количества теплоты, полученного от единственного теплового резервуара.

2) Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача энергии путем теплообмена от тела с низкой температурой к телу с более высокой температурой.

На рис. 3.12.2 изображены процессы, запрещенные вторым законом, но не запрещенные первым законом термодинамики. Эти процессы соответствуют двум формулировкам второго закона термодинамики.

Рисунок 3.12.2.

Процессы, не противоречащие первому закону термодинамики, но запрещаемые вторым законом: 1 – вечный двигатель второго рода; 2 – самопроизвольный переход тепла от холодного тела к более теплому (идеальная холодильная машина)

Следует отметить, что обе формулировки второго закона термодинамики эквивалентны. Если допустить, например, что тепло может самопроизвольно (т. е. без затраты внешней работы) переходить при теплообмене от холодного тела к горячему, то можно прийти к выводу о возможности создания вечного двигателя второго рода. Действительно, пусть реальная тепловая машина получает от нагревателя количество теплоты Q₁ и отдает холодильнику количество теплоты Q₂. При этом совершается работа A = Q₁ – |Q₂|. Если бы количество теплоты |Q₂| самопроизвольно переходило от холодильника к нагревателю, то конечным результатом работы реальной тепловой машины и идеальной холодильной машины было бы превращение в работу количества теплоты Q₁ – |Q₂|, полученного от нагревателя без какого-либо изменения в холодильнике. Таким образом, комбинация реальной тепловой машины и идеальной холодильной машины равноценна вечному двигателю второго рода. Точно также можно показать, что комбинация реальной холодильной машины и вечного двигателя второго рода равноценна идеальной холодильной машине.

Второй закон термодинамики непосредственно связан с необратимостью реальных тепловых процессов. Энергия теплового движения молекул качественно отличается от всех других видов энергии – механической, электрической, химической и т. д. Энергия любого вида, кроме энергии теплового движения молекул, может полностью превратиться в любой другой вид энергии, в том числе и в энергию теплового движения. Последняя может испытать превращение в любой другой вид энергии лишь частично. Поэтому любой физический процесс, в котором происходит превращение какого-либо вида энергии в энергию теплового движения молекул, является необратимым процессом, т. е. он не может быть осуществлен полностью в обратном направлении

При полном обходе замкнутого обратимого цикла 

  (обратимый цикл),

где ΔQ_i = ΔQ_1i + ΔQ_2i – количество теплоты, полученное рабочим телом на двух изотермических участках при температуре T_i. Для того, чтобы такой сложный цикл провести обратимым путем, необходимо рабочее тело приводить в тепловой контакт со многими тепловыми резервуарами с температурами T_i. Отношение ΔQ_i / T_i называется приведенным теплом. Полученная формула показывает, что полное приведенное тепло на любом обратимом цикле равно нулю. Эта формула позволяет ввести новую физическую величину, которая называется энтропией и обозначается буквой S (Р. Клаузиус, 1865 г.). Если термодинамическая система переходит из одного равновесного состояния в другое, то ее энтропия изменяется. Разность значений энтропии в двух состояниях равна приведенному теплу, полученному системой при обратимом переходе из одного состояния в другое.

В случае обратимого адиабатического процесса ΔQ_i = 0 и, следовательно, энтропия S остается неизменной.

Выражение для изменения энтропии ΔS при переходе неизолированной системы из одного равновесного состояния (1) в другое равновесное состояние (2) может быть записано в виде 

Рост энтропии является общим свойством всех самопроизвольно протекающих необратимых процессов в изолированных термодинамических системах. При обратимых процессах в изолированных системах энтропия не изменяется.

2. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля.

Проводник, c протекающим по нему электрическим ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле исчезает и появляется вместе с исчезновением и появлением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Логично предположить, что энергия магнитного поля совпадает с работой, затрачиваемой током на создание этого поля.  Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому протекает ток I. С этим контуром сцеплен магнитный поток Ф=LI, поскольку индуктивность контура неизменна, то при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ=LdI. Но для изменения магнитного потока на величину dФ следует совершить работу dА=IdФ=LIdI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф равна    Значит, энергия магнитного поля, которое связано с контуром,   (1)  Энергию магнитного поля можно рассматривать как функцию величин, которые характеризуют это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случай — однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (1) формулу индуктивности соленоида, найдем

  Так как I = Bl/(μ₀μN) и В=μ₀μH , то   (2)  где Sl = V — объем соленоида.  Магнитное поле внутри соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия (2) заключена в объеме соленоида и имеет с ним однородное распределение с постоянной объемной плотностью   (3)

Формула (3) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный выражению для объемной плотности энергии электростатического поля, с тем отличием, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (3) выводилась для однородного поля, но она верна и для неоднородных полей. Формула (3) справедлива только для сред, для которых линейная зависимость В от Н, т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам.