- •Завдання Контрольна робота № 1 «Комплексні числа»
- •Контрольна робота № 2 «Цілі числа. Числові функції»
- •Контрольна робота № 3 «Порівняння»
- •Розв’язання типового варіанта
- •1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.
- •2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.
- •3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).
- •4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.
- •5. Записати дану тригонометричну функцію
- •1. Для чисел та :
- •2. Для числа знайти значення функції Ейлера від , суму й число усіх натуральних дільників.
- •1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.
- •2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
- •3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .
- •4. Знайти останню цифру числа .
- •5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня .
- •6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
- •1. Обчислити символ Лежандра .
- •2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .
- •3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.
- •4. За допомогою індексів розв’язати порівняння
- •1. Перетворити у ланцюговий дріб число . Знайти підхідний дріб .
- •2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
- •3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
- •4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
- •1. Використовуючи схему Горнера, обчислити та розкласти многочлен за степенями , якщо .
- •2. Визначити всі раціональні корені многочлена .
- •3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .
- •4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
- •1. Відділити кратні корені многочлена .
- •2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .
- •3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.
- •4. Симетричний многочлен від трьох змінних виразити через елементарні.
- •5. Знайти значення виразу , де – корені многочлена .
- •Література
4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Нехай задано рівняння четвертого степеня
.
Заміною змінних зведемо його до вигляду
.
Виділимо повний квадрат:
.
Підберемо значення так, щоб вираз був повним квадратом. Для цього необхідно, щоб дискримінант дорівнював нулю.
Таким чином, задача зводиться до розв’язання кубічного рівняння
,
розв’язавши яке ми зможемо знайти , й тим самим зможемо записати, що
або
.
Отже, для знаходження отримуємо сукупність рівнянь
Для заданого рівняння маємо, що
, , , .
Робимо заміну , тоді
.
Після спрощення отримуємо:
.
Перепишемо отримане рівняння у вигляді
.
Далі виділимо у лівій частині отриманої рівності повний квадрат:
або
.
У лівій частині ще раз виділяємо повний квадрат, уводячи у розгляд параметр :
,
перепишемо отриману рівність наступним чином:
. (*)
Обираємо параметр так, щоб права частина була повним квадратом. Для цього необхідно і достатньо, щоб дискримінант квадратного тричлена по дорівнював нулю, тобто
.
Або, що теж саме,
.
Зауваження. Отримане рівняння називається кубічною резольвентою вихідного рівняння четвертого степеня.
Число буде коренем цього кубічного рівняння (корінь можна визначаємо в будь-який спосіб. Ми скористалися способом визначення раціональних коренів многочлену, який описано в попередній задачі). З урахуванням цього, рівняння (*) перепишеться у вигляді:
,
.
Отримана рівність еквівалентна наступній сукупності:
Розв’язуємо квадратні рівняння
;
.
Повертаючись до змінної , остаточно будемо мати, що
, .
Відповідь. , .
Контрольна робота № 7
1. Відділити кратні корені многочлена .
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Число називається –кратним коренем полінома тоді і тільки тоді, коли , причому .
! Теоретичні відомості !
Число називається –кратним коренем полінома тоді і тільки тоді, коли , .
Знайдемо похідну заданого многочлена:
.
За допомогою алгоритму Евкліда знайдено НСД поліномів та .
Зауваження. Для спрощення обчислень многочлени можна множити на будь-яке ненульове число.
– |
||
– |
||
– |
||
– |
||
0 |
Отже, .
Легко бачити, що . Число є коренем кратності 1 для многочлена і значить воно є коренем кратності для многочлена . Значення є коренем кратності 2 для многочлена , а, отже, воно є коренем кратності для многочлена .
Таким чином, . Частка від такого ділення дорівнює , а тоді .
Відповідь. .