- •Завдання Контрольна робота № 1 «Комплексні числа»
- •Контрольна робота № 2 «Цілі числа. Числові функції»
- •Контрольна робота № 3 «Порівняння»
- •Розв’язання типового варіанта
- •1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.
- •2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.
- •3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).
- •4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.
- •5. Записати дану тригонометричну функцію
- •1. Для чисел та :
- •2. Для числа знайти значення функції Ейлера від , суму й число усіх натуральних дільників.
- •1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.
- •2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
- •3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .
- •4. Знайти останню цифру числа .
- •5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня .
- •6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
- •1. Обчислити символ Лежандра .
- •2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .
- •3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.
- •4. За допомогою індексів розв’язати порівняння
- •1. Перетворити у ланцюговий дріб число . Знайти підхідний дріб .
- •2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
- •3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
- •4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
- •1. Використовуючи схему Горнера, обчислити та розкласти многочлен за степенями , якщо .
- •2. Визначити всі раціональні корені многочлена .
- •3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .
- •4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
- •1. Відділити кратні корені многочлена .
- •2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .
- •3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.
- •4. Симетричний многочлен від трьох змінних виразити через елементарні.
- •5. Знайти значення виразу , де – корені многочлена .
- •Література
5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня .
Розв’язання. Як було показано вище, дане порівняння має один розв’язок.
! Теоретичні відомості !
Метод Ейлера. Для порівняння , де , розв’язок можна знаходити за формулою:
.
У нашому випадку, , , . Оскільки , то умови застосування методу Ейлера виконані. Шуканий розв’язок
.
Функція Ейлера . Отже,
.
Відповідь. .
6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
Розв’язання. Розв’яжемо задану систему за допомогою китайської теореми про залишки.
! Теоретичні відомості !
Китайська теорема про залишки. Якщо числа попарно взаємно прості, то система порівнянь завжди має розв’язок. Будь-які два розв’язки відрізняються на число, яке кратне .
Приведемо задану систему до стандартного виду:
У даному випадку , , а також , , , тобто всі модулі являються попарно взаємно простими.
Будуємо таблицю:
1 |
2 |
3 |
|
7 |
5 |
11 |
|
55 |
77 |
35 |
Тут – модулі у системі порівнянь, – добуток усіх модулів, окрім . Тобто для даної системи, наприклад, .
Знайдемо тепер лінійне представлення НСД чисел та :
,
,
.
Випишемо підкреслені доданки у отриманих розкладах НСД:
, , .
Розв’язком заданої системи порівнянь є клас
.
Знайдемо тепер розв’язок вихідної системи за допомогою арифметичних перетворень.
! Теоретичні відомості !
Метод алгебраїчних перетворень розв’язання системи порівнянь полягає у наступному: спочатку розв’язуємо перше порівняння системи і з його розв’язків обираємо ті, що задовольняють другому порівнянню. Серед спільних розв’язків перших двох порівнянь знаходимо ті, що задовольняють третьому порівнянню і так далі, поки не буде знайдено розв’язок для усіх порівнянь системи.
Спочатку знайдемо розв’язок першого порівняння системи будь-яким методом, наприклад, за допомогою метода алгебраїчних перетворень.
Перевіримо, чи має дане порівняння розв’язки: – один клас розв’язків. Знайдемо його:
.
Підставляємо отриманий розв’язок у друге порівняння системи :
.
Так як , то порівняння має розв’язок. Знаходимо його:
.
Отже, . Цей спільний розв’язок перших двох порівнянь системи підставляємо у третє :
.
Робимо перевірку розв’язності: – порівняння має один клас розв’язків. І за допомогою алгебраїчних перетворень коефіцієнтів отримуємо:
.
Таким чином,
або, що теж саме,
.
Відповідь. .
Контрольна робота № 4
1. Обчислити символ Лежандра .
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Символом Лежандра називається вираз виду , де – просте непарне число, , який приймає значення 1 або – 1 у залежності від того, має чи не має розв’язок порівняння .
! Теоретичні відомості !
Властивості символу Лежандра:
1) ; 2) ;
3) . 4) ; 5) .
6) ; 7) ; 8) ;
9) , – прості непарні числа.
Так як , то згідно з другою властивістю символів Лежандра
.
Так як 61 та 197 – прості непарні числа, то за дев’ятою властивістю
.
З того, що , маємо що
.
За властивістю 5), оскільки , можемо записати:
.
Використовуючи властивість 7), обчислюємо
.
А за властивістю 9):
.
Тобто
.
Відповідь. .