4. Симетричний многочлен від трьох змінних виразити через елементарні.

Розв’язання.

! Теоретичні відомості !

Симетричний многочлен – многочлен від змінних , який не змінюється при всіх перестановках змінних, що входять до його запису.

! Теоретичні відомості !

До елементарних симетричних многочленів відносять наступні, наприклад, елементарні многочлени від трьох змінних:

, , .

! Теоретичні відомості !

Основна теорема теорії симетричних многочленів. Будь-який симетричний многочлен від змінних можна представити у вигляді многочлена від елементарних симетричних многочленів, причому таке представлення єдине.

Обираємо одночлен, у якому стоїть в максимальному степені (якщо таких одночленів декілька, то з них обираємо той, у якому має максимальну степінь і так далі). Для заданого симетричного многочлена таким є одночлен . Випишемо всілякі набори , які задовольняють наступним умовам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Для кожного такого набору вказуємо симетричний многочлен виду , де , , . Для зручності складемо таблицю:

Набори	Степені			Відповідний симетричний многочлен
(4, 1, 0)	3	1	0
(3, 2, 0)	1	2	0
(3, 1, 1)	2	0	1
(2, 2, 1)	0	1	1

Тоді існують такі числа та , що

.

Задача зводиться до відшукання цих чисел.

Зауваження. Оскільки коефіцієнт при старшому одночлені заданого многочлена дорівнює одиниці, то і коефіцієнт при старшому доданку також дорівнює одиниці.

Підставляючи в ліву та праву частину набори значень аргументів, отримуємо систему відносно невідомих коефіцієнтів. Заповнимо наступну таблицю:

1	1	0	2	1	0
1	1	1	3	3	1
1	– 1	1	1	– 1	– 1

Розв’язуючи отриману систему

маємо, що , , .

Таким чином, .

Відповідь. .

5. Знайти значення виразу , де – корені многочлена .

Розв’язання.

! Теоретичні відомості !

Формули Вієта. Нехай задано многочлен . Тоді якщо – це корені многочлена , то , де – елементарні симетричні многочлени.

Тобто коефіцієнти многочлена з точністю до знака виражаються як елементарні симетричні многочлени від його коренів. Вірне й обернене твердження.

Позначимо і запишемо даний симетричний многочлен через елементарні симетричні поліноми. Для многочлена одночлен, до якого змінна входить в максимальному степені, це одночлен . Заповнюємо таблицю:

Набори	Степені			Відповідний симетричний многочлен
(2, 2, 0)	0	2	0
(2, 1, 1)	1	0	1

Тоді існує таке число , що

.

Знайдемо значення величини .

Підставляючи в ліву та праву частину набори значень аргументів, отримуємо:

1	1	1	3	3	1

А отже, . Тобто . Тоді значення цього многочлена від коренів многочлена :

,

, , .

Тобто

Відповідь. .