- •Завдання Контрольна робота № 1 «Комплексні числа»
- •Контрольна робота № 2 «Цілі числа. Числові функції»
- •Контрольна робота № 3 «Порівняння»
- •Розв’язання типового варіанта
- •1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.
- •2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.
- •3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).
- •4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.
- •5. Записати дану тригонометричну функцію
- •1. Для чисел та :
- •2. Для числа знайти значення функції Ейлера від , суму й число усіх натуральних дільників.
- •1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.
- •2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
- •3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .
- •4. Знайти останню цифру числа .
- •5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня .
- •6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
- •1. Обчислити символ Лежандра .
- •2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .
- •3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.
- •4. За допомогою індексів розв’язати порівняння
- •1. Перетворити у ланцюговий дріб число . Знайти підхідний дріб .
- •2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
- •3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
- •4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
- •1. Використовуючи схему Горнера, обчислити та розкласти многочлен за степенями , якщо .
- •2. Визначити всі раціональні корені многочлена .
- •3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .
- •4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
- •1. Відділити кратні корені многочлена .
- •2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .
- •3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.
- •4. Симетричний многочлен від трьох змінних виразити через елементарні.
- •5. Знайти значення виразу , де – корені многочлена .
- •Література
2. Визначити всі раціональні корені многочлена .
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Число називається коренем многочлена , якщо .
! Теоретичні відомості !
Якщо раціональне число , , є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами, то число є дільником вільного члена, а –дільником коефіцієнта при старшій степені, тобто , а .
! Теоретичні відомості !
Якщо , є раціональним коренем поліному , то , .
У якості обираємо усі дільники вільного члена заданого многочлена, тобто – 14: . У якості – дільники старшого коефіцієнта: . З отриманих значень складаємо різні нескоротні дроби. Значення многочлена у точках та знайдемо за допомогою схеми Горнера:
|
10 |
– 13 |
6 |
15 |
– 14 |
1 |
10 |
– 3 |
3 |
18 |
4 |
– 1 |
10 |
– 23 |
29 |
–14 |
0 |
Можна зробити висновок, що – корінь заданого многочлена (так як ).
Для зручності побудуємо наступну таблицю:
1 |
– 1 |
1 |
– 1 |
1 |
– 1 |
2 |
– 2 |
2 |
– 2 |
|
2 |
2 |
5 |
5 |
10 |
10 |
1 |
1 |
5 |
5 |
|
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
– |
+ |
– |
+ |
– |
– |
– |
+ |
– |
– |
|
7 |
– 7 |
7 |
– 7 |
7 |
– 7 |
14 |
– 14 |
14 |
– 14 |
|
1 |
1 |
5 |
5 |
10 |
10 |
1 |
1 |
5 |
5 |
|
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
– |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
Отже, раціональними коренями заданого многочлена можуть бути наступні: , .Зробимо перевірку за допомогою схеми Горнера:
|
10 |
– 13 |
6 |
15 |
– 14 |
10 |
– 18 |
15 |
|||
10 |
– 15 |
9 |
Таким чином, многочлен має єдиний раціональний корінь .
Відповідь.
3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Формула Кардано – формула для знаходження коренів кубічного рівняння .
До такого вигляду може бути приведене будь-яке кубічне рівняння загального вигляду за допомогою заміни . Тоді коефіцієнти цих двох рівнянь пов’язані наступними співвідношеннями:
, .
Розв’язок зведеного кубічного рівняння шукаємо у вигляді
.
Після підстановки рівняння зводиться до вигляду
.
Функції та обираються так, щоб
.
Для знаходження цих функцій отримаємо систему
Після заміни , приходимо до системи
яку, використавши теорему Вієта, зводимо до наступного квадратного рівняння
.
Його корені . Повертаючись до заміни, знаходимо три такі пари та , які задовольняють умові .
Знаходимо три кореня рівняння за формулами .
Для заданого в умові рівняння , , та . Зведемо дане рівняння до канонічного вигляду , для цього робимо заміну
,
невідомі коефіцієнти
, .
Отже, отримали рівняння
.
Розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді
.
Підставляємо цей вираз у рівняння:
.
Або після спрощення
.
Функції та будемо шукати так, щоб
.
Тоді
,
.
Тобто отримали систему
Робимо заміну , , тоді система приймає вигляд:
! Теоретичні відомості !
Теорема Вієта. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює коефіцієнту при першому степені невідомого, який береться з протилежним знаком, а добуток дорівнює вільному члену:
, .
Тобто, невідомі величини та є коренями квадратного рівняння
.
Знайдемо його розв’язки. Дискримінант
.
Тоді
, .
Повертаючись до заміни, маємо, що
, .
Знайдемо числа , які задовольняють цим рівнянням. Для цього позначимо
, .
(тут вважаєтьсь, що корінь арифметичний). Зауважимо, що .
Оскільки та , то, за формулою Муавра
.
Випишемо всі три значення кореня:
,
.
Добуток є від’ємне дійсне число, тобто число з аргументом . Оскільки при множенні комплексних чисел їх аргументи додаються, то ми повинні розглядати такі пари чисел: та , та , та .
Таким чином, коренями кубічного рівняння є числа
,
,
.
Розв’язки вихідного кубічного рівняння обчислюються за формулами .
Відповідь. , , , , .